Распределение энергии в спектре АЧТ

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА.

В этом разделе мы рассмотрим явления, связанные с взаимодействием света[i] с веществом: тепловое излучение, фотоэффект и эффект Комптона.

Закономерности этих явлений хорошо объясняются только на основе квантовых представлений, т.е. в предположении, что свет – это частицы (кванты, фотоны).

ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

При переходе электрона в возбужденном атоме на более низкий энергетический уровень атом излучает квант энергии - электромагнитное излучение с определенной длиной волны. Если вещество представляет собой разреженный газ, в котором атомы практический не взаимодействуют друг с другом, то излучение состоит из определенного набора волн. Разлагая излучение разреженного газа в спектр, мы будем наблюдать отдельные линии (линейчатый спектр). Если газ образуют молекулы, которые вращаются, а атомы в них совершают колебания, то изменения в этих движениях (переходы) также сопровождаются излучением электромагнитных волн определенных частот. Так как при таких переходах энергия меняется значительно меньше, чем при электронных, линии в спектре будут располагаться более тесно, образуя полосы (полосатые спектры). Жидкости, в которых имеется сильное взаимодействие молекул между собой, также дают полосатые спектры излучения.

Излучение твердого тела дает сплошной спектр. Твердое тело можно представить себе как множество осцилляторов (излучателей), колеблющихся с самыми разнообразными частотами. Молекулы-осцилляторы находятся в непрерывном тепловом движении. Взаимодействуя друг с другом, они изменяют свои скорости, вследствие чего происходит излучение электромагнитных волн всевозможных частот. При температурах свыше 700оС излучение становится видимым («красное каление»), при более высоких температурах наблюдается «белое каление

Излучение электромагнитных волн, происходящее за счет энергии теплового движения молекул, называют тепловым излучением. Если излучение находится в равновесии с излучающим телом, то излучение называют равновесным тепловым излучением. [ii]

Рассмотрим физические величины, характеризующие тепловое излучение. При этом мы не будем касаться углового распределения излучения, т.к. оно представляет чисто технический интерес при конструировании источников света.

 

Интегральные характеристики:

W (Дж) энергия, излучаемая по всем длинам волн во всех направлениях
Дж/с = Вт поток излучаемой энергии или мощность излучения - по смыслу это энергия, излучаемая в единицу времени
Дж/(с.м2) = =Вт/м2 энергетическая (интегральная) светимость – это энергия, излучаемая в единицу времени с единичной площади по всем длинам волн [iii]
     

В спектре излучения твердого тела на разные длины волн приходится различная энергия, поэтому вводятся спектральные характеристики, учитывающие распределение излучаемой энергии по различным длинам волн:

Дж/(с.м2.м) =Вт/м3 излучательная способность (лучеиспускательная способность, спектральная плотность потока излучения) - это энергия, излучаемая в единицу времени единицей площади в единичном интервале длин волн (l - длина волны излучения)
Дж/(м2) --²-- в единичном интервале частот (n- частота излучения)
поглощательная способность (коэффициент поглощения) -это отношение поглощенного к падающему потоков, взятых в узком интервале длин волн вблизи данной длины волны [iv]
отражательная способность (коэффициент отражения) - это отношение отраженного к падающему потоков, взятых в узком интервале длин волн вблизи данной длины волны
соотношение между коэффициентами отражения и поглощения, следует из закона сохранения энергии
     

Энергетическая светимость R зависит только от температуры тела R=R(Т), спектральные характеристики излучения - r, а и r зависят как от температуры, так и от длины волны света l: r = r(l,Т), а = а(l,Т) и r = r (l,Т).

§ связь между излучательной способностью и энергетической светимостью в дифференциальной и интегральной формах для длин волн и частот с – скорость света в вакууме
§§

Если в каких-либо формулах мы хотим перейти от l к n (и наоборот), следует приравнивать общее количество энергии, излученной в интервалах dl и dn:

dR=rl×dl = rn×dn rl = rn (dn / dl)

При исследовании теплового излучения используется научная абстракция - абсолютно черное тело (АЧТ) –это тело, которое поглощает всё, падающее на него излучение, т.е. коэффициент поглощения АЧТ аАЧТ = 1. Реальной моделью АЧТ может служить замкнутая полость с небольшим отверстием, цилиндр с перегородками, конус (см. рис.). На конусной установке можно получить коэффициент поглощения 0,99999. Если поддерживать температуру указанных тел постоянной, то из отверстия будет выходить электромагнитное излучение всевозможных длин волн, близкое к равновесному излучению АЧТ.

 

замкнутая полость с отверстием   цилиндр с перегородками   конусный излучатель

Еще одной моделью излучения реальных тел является серое тело – это тело, у которого коэффициент поглощения меньше единицы и при данной температуре является постоянным для всех длин волн. Кривая излучения серого тела повторяет ход кривой излучения АЧТ (см. дальше) при той же температуре, но идет ниже.

Закон Кирхгофа: «Для всех тел отношение излучательной способности к его поглощательной способности при данной температуре Т и данной длине волны l является постоянным и равным излучательной способности АЧТ при тех же Т и l». Следствия из закона Кирхгофа:
Все реальные тела при данной температуре излучают всегда меньше, чем АЧТ; r=ro×a< ro, т.к. для всех тел a< 1
Если тело не поглощает каких-либо волн, оно и не будет их излучать, поэтому спектры излучения и спектры поглощения идентичны, но как бы перевернуты (максимум на одном соответствует минимуму на другом)
Тело, которое сильно поглощает, должно и сильно излучать. Если на пластине на белом фоне нарисовать черный крест, то при нагревании крест будет светиться более интенсивно, чем фон.[1].
     

 

Вывод закона Кирхгофа. Пусть некоторое тело 1 обменивается излучением с АЧТ (2), Температуры тел одинаковы. На единицу площади тела 1 падает поток излучения от АЧТ – ro. Часть этого потока r rо отражается от тела 1. В свою очередь тело излучает поток r. При тепловом равновесии ro = r +r rо = r + (1- а) rо Þ r / а = rо (r - коэффициент отражения, а – коэффициент поглощения)

 

Распределение энергии в спектре АЧТ.

На рисунке приведена зависимость излучательной способности АЧТ от длины волны при различных температурах. Эти данные получены экспериментально. Из графиков видно, что энергия распределяется по длинам волн неравномерно, с увеличением температуры излучение резко возрастает. При указанных температурах максимумы излучения попадают в инфракрасный диапазон длин волн, на видимую область (0,4-0,75 мкм) приходится незначительное количество энергии [v]. С ростом температуры максимумы смещаются в сторону более коротких длин волн. На втором рисунке приведен для сравнения спектр солнечного излучения. «Провалы» в спектре – это линии поглощения атмосферой, огибающая – спектр излучения АЧТ.

 

 

Законы изучения АЧТ. На основании экспериментальных данных были получены следующие законы:

Закон Стефана-Больцмана «Энергетическая светимость АЧТ прямо пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры». Из закона следует, что при небольшом увеличении температуры, энергия излучения возрастает очень сильно. Например, при увеличении температуры в 2 раза, излучаемая энергия возрастает в 16 раз. s = 5,67×10-8 Вт/(м2К4) – постоянная Стефана-Больцмана.
Закон смещения Вина: «Длина волны, на которую приходится максимум излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре». Из закона следует, что с увеличением температуры максимум излучения смещается в сторону более коротких волн. b= 2,9×10-3 1/м – постоянная Вина.
Закон общепринятого названия не имеет, иногда называется 2-ым законом Вина: «Максимальная излучательная способность прямо пропорциональна пятой степени абсолютной температуры» С = 1,3×10-5 Вт/(м3.К5)- коэффициент пропорциональности

Выясним, что представляют собой величины в формулах (§) и (§§) на графике зависимости излучательной способности АЧТ ro от длины волны l.

Кривая излучения АЧТ. dR – поток излучения, приходящийся на интервал длин волн dl (площадь плотно заштрихованной полоски) R – интеграл (см. формулу §§) – на графике – это площадь под всей кривой излучения. lmax – длина волны, на которую приходится максимум излучения

 

Гипотеза и формула Планка.

Все попытки получить формулу, описывающую кривую излучения АЧТ оказались безуспешными. Две из полученных формул (формула Вина и формула Релея и Джинса) достаточно хорошо подходили при малых и при больших длинах волн, но полностью описать кривую не могли (см. таблицу ниже). Получить формулу, полностью описывающую кривую излучения АЧТ удалось Планку. Он впервые выдвинул квантовую гипотезу(1900 г)о том, что свет испускается порциями – квантами. Энергия одного кванта пропорциональна частоте излучения. Это была принципиально новая гипотеза, положившая начало развитию квантовой теории.

энергия кванта (фотона), выраженная через частоту n (Гц), циклическую частоту w (1/с)и длину волны l
h = 6,625×10-34 Дж.с - постоянная Планка = 1,05×10-34 Дж.с - называют квантом действия (в устной речи произносится «аш перечеркнутая

Мы не будем приводить вывод формулы Планка [vi], укажем только, что он основан на методах статистической термодинамики, как и вывод формул Вина и Релея-Джинса, но Планк предположил, что энергия, приходящаяся на одну степень свободы колебательного движения осциллятора равна не кТ/2, а зависит от частоты излучения.

Приближенная формула Вина хорошо выполняется при малых длинах волн (см. рис.) и дает максимум; формула Релея - Джинса дает неплохое совпадение с опытом при больших длинах волн, но кривая уходит в бесконечность, что физически невозможно. (Подробнее – см. таблицу ниже)

 

Название выражение через частоту n выражение через длину волны l
формула Планка ª ªª
формула Вина, хорошо выполняется при hn>> kT или l£ lmax = b/T b = 0,0029 м.К (см.ранее закон смещения Вина
формула Релея - Джинса хорошо выполняется при hn << kT или l >> l max = b/T (ех » 1+ х при малых х) С1 » 3,7×10-16 Вт.м2 С2»1,4×10-2 м.К

Из формулы Планка можно получить теоретически все законы излучения АЧТ.

Чтобы получить закон Стефана-Больцмана, нужно просуммировать излучение по всем частотам Подставим под интеграл (ª), сделаем замену переменной. Интеграл получается не табличный, но известен из математики; А = const, в которой собраны все постоянные, входящие в формулу Планка
Чтобы получить закон смещения Вина, нужно приравнять первую производную излучательной способности нулю, что будет соответствовать максимуму излучения drol / dl = 0. Возьмем формулу (ªª), найдем производную, получим уравнение. Введем переменную x =hc / kTl подставим в уравнение В результате получим: 5(ex – 1) -xex = 0 Это уравнение можно решить только численно: х» 5. Подставляя, найдем: l = const/T

 

Законы теплового излучения используются в приборах, с помощью которых измеряют бесконтактным способом температуру тел, нагретых до высоких температур. Такие приборы называются пирометрами. Шкала такого прибора заранее проградуирована. С помощью оптических линз изображение источника излучения (например, отверстия печи, лампочки накаливания) фокусируется на датчике прибора, и стрелка указывает температуру на шкале прибора.[vii]

 

 

ДУАЛИЗМ СВОЙСТВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Прежде, чем перейти к закономерностям фотоэффекта и эффекта Комптона, рассмотрим свойства света (электромагнитного излучения). В одних явлениях (интерференция, дифракция, поляризация) свет проявляется себя как волны, в других (тепловое излучение, фотоэффект, эффект Комптона) – как частицы (кванты, фотоны), поэтому говорят о двойственной, корпускулярно волновой природе света. Если частота света и, следовательно, энергия фотона, велика, то свет проявляется себя как «частицы», при малых частотах – как волны. Например, в области радиоволн квантовые свойства практически не проявляются, и волновая электромагнитная теория хорошо объясняет явления, связанные с радиоволнами.

В силу двойственности природы света, для его характеристики используются как квантовые, так и волновые величины.

Свет как фотоны (кванты) характеризуется:

энергия фотона
масса покоя фотона равна 0. Действительно, энергия частицы по формуле Эйнштейна , скорость света (и фотона) в вакууме равна с, следовательно, m = 0
импульс фотона. Действительно, из СТО энергия частицы связана с ее импульсом ,m=0 Þ hn = pc

Свет как электромагнитные волны характеризуются:

l- длина волны, n - частота (в Гц), w - циклическая частота, с – скорость света в вакууме
k в скалярной форме называют волновым числом, в векторной форме называют волновым вектором р – импульс фотона

 

В атомной физике энергию обычно измеряют не в джоулях, а в электронвольтах (эВ). 1 эВ = 1,6×10-19 Дж. Электронвольт численно равен той энергии, которую приобретает электрон, пройдя разность потенциалов в 1 вольт. Электронвольты и вольты численно совпадают, хотя этими единицами измеряются совершенно разные величины. Например, электрон пройдя разность потенциалов 5 В приобретает энергию 5 эВ.

 

В нашем мире мы не наблюдаем таких макрообъектов, которые проявляли бы себя то как частицы, то как волны. Поэтому все попытки представить себе, что же такое свет, оказались безуспешными. Фотоны не подчиняются законам классической механики. Двусмысленность природы света возникает потому, что мы используем классические представления для описания неклассических, квантовых объектов.

 

 

ФОТОЭФФЕКТ

Фотоэффектом называют электрические явления, происходящие под действием электромагнитного излучения (света). Различают следующие виды фотоэффекта.

1)Внешний фотоэффект. Он состоит в том, что под действием света происходит

испускание электронов из вещества (см. рис.). При этом на поверхности

вещества появляется положительный заряд.

2)Внутренний фотоэффект. Выбитые светом электроны остаются в веществе.

Если к веществу приложена разность потенциалов, то при освещении светом

электропроводность вещества увеличивается.

3)Фотоэффект в запирающем слое (вентильный фотоэффект). Если привести в контакт два вещества с разным типом проводимости (электронной и дырочной), то на их границе возникает разность потенциалов. Если освещать границу контакта светом и цепь замкнуть, то в ней будет протекать ток. Таким образом, можно наблюдать непосредственное преобразование световой энергии в электрическую (подробнее см.дальше - ФТТ)

внешний фотоэффект внутренний фотоэффект фотоэффект в запирающем слое

Мы будем рассматривать только внешний фотоэффект. Попытки объяснить закономерности фотоэффекта на основе электромагнитной теории оказались невозможными, например, из теории следовало, что появление фототока должно происходить спустя десятки минут после освещения, тогда как из опыта фототок появлялся практически мгновенно. В 1905 г Эйнштейн показал, что закономерности внешнего фотоэффекта можно объяснить, если предположить, что свет поглощается порциями (квантами) такими же, как по предположению Планка свет излучается. Он предложил уравнение:

 

© уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

По сути – это закон сохранения энергии: энергия фотона e расходуется на работу А по отрыву электрона от атома и на сообщение электрону кинетической энергии Wкин . (На свободном, не связанном с атомом электроне, фотоэффект невозможен).

Фотоэффект можно рассматривать как неупругое столкновение частицы-фотона с атомом; фотон исчезает, из атома вылетает электрон, и часть импульса «погибшего» фотона передается атому.

 

Для удобства решения задач соберем все выражения для величин в формуле

(©) в таблицу. В зависимости от условия задачи, следует выбрать подходящие

формулы и подставить в (©).

 

энергия падающего фотона
А – работа выхода электрона из вещества
максимальная кинетическая энергия электрона. Uзадерж- задерживающий потенциал (см.дальше), е – заряд электрона, р – импульс электрона
все эти величины называются красной границей фотоэффекта. Красная граница фотоэффекта – это частота или длина волны, при которых начинается (или прекращается) фотоэффект
W, v, p Кинетическая энергия, скорость и импульс в формуле Эйнштейна являются максимальными, т.е. электрон имеет их сразу же после отрыва от атома. «Пробираясь к выходу» из вещества за счет взаимодействия с другими частицами, он может потерять энергию, поэтому вылетевшие электроны имеют различные скорости (вплоть до 0).
Uзадерж задерживающее напряжение (потенциал) [viii]– это обратное напряжение, которое нужно приложить между катодом и анодом фотоэлемента, чтобы прекратился фототок (см. рис. ниже)
       

Рассмотрим вакуумный фотоэлементи его характеристики.1)Вольтамперная характеристика.

На рисунке показана схема, используемая для изучения фотоэффекта. Внутри стеклянного баллона, из которого откачен воздух, имеются два электрода: катод (К) и анод (А). Такое устройство называется вакуумным фотоэлементом. При освещении катода светом, из него будут вылетать электроны, образуя электронное облако. Часть электронов по инерции достигнут анода. Если катод и анод замкнуть вне баллона и подсоединить микроамперметр, то прибор покажет ток.

Этот очень небольшой ток называется инерционным (Iин).

Если к электродам подсоединить батарею и увеличивать напряжение между катодом и анодом, ток в цепи будет увеличиваться. Зависимость фототока от напряжения называется вольтамперной характеристикой фотоэлемента ( см. рис.). Начиная с некоторых напряжений, ток перестает увеличиваться, если при этом световой поток

Ф остается постоянным. Максимальный ток называется током насыщения (Iнас). Существование тока насыщения объясняется следующим образом. Один фотон выбивает только один электрон, но не каждый фотон выбивает по электрону. Отношение числа выбитых электронов Nэл к числу падающих фотонов Nфот в единицу времени называется квантовым выходом. Квантовый выход a зависит от природы вещества и частоты фотонов.

Световая характеристика.

Световой характеристикой фотоэлемента называется зависимость фототока насыщения от падающего светового потока ( см.рис.). Квантовый подход приводит к прямой пропорциональности тока насыщения световому потоку

Iнасыщ ~ Ф. Действительно:

ток насыщения, е – заряд электрона, t- время.
световой поток
квантовый выход
А/Вт чувствительность фотоэлемента Iнасыщ = g Ф

Отсюда для n = const следует, что сила тока насыщения прямо пропорциональна световому потоку.[ix] Коэффициент пропорциональности g называется чувствительностью фотоэлемента – она показывает, на сколько изменяется сила тока насыщения при изменении светового потока на единицу

Задерживающий потенциал.

Уравнение Эйнштейна можно записать в виде: и выразить задерживающий потенциал:

На рисунке показан график зависимости задерживающего потенциала от частоты падающего света. По графику можно найти работу выхода А, красную границу nгр , а по наклону прямой можно определить величину постоянной Планка h.

 

Фотоэлементы широко используются в физике и технике. Вакуумные фотоэлементы довольно громоздки и дают небольшие токи, но вследствие своей безинерционности и линейной световой характеристики они незаменимы в тех случаях, когда необходимо превратить световые сигналы в электрические без каких-либо искажений. Существование тока насыщения в фотоэлементах позволят использовать их в стабилизаторах (напряжение изменяется, а ток остается постоянным). Фотоэлементы очень часто применяют в турникетах, для подсчета движущихся изделий на конвейерах и т.п.

 

 

ЭФФЕКТ КОМПТОНА

Эффектом Комптона называется рассеяние веществом электромагнитного излучения, при котором частота рассеянного излучения уменьшается по сравнению с первоначальной, и одновременно наблюдается вылет быстрых электронов (электроны отдачи). Изменение частоты оказывается различной в зависимости от угла наблюдения. Американский ученый Комптон, открывший это явление (1923 г) разработал теорию явления. Он предложил рассматривать наблюдаемое взаимодействие света с веществом как упругое столкновение

частиц - фотона и электрона. Используя законы сохранения импульса и энергии, Комптон получил формулу для изменения длины волны в зависимости от угла рассеяния..

Мы не будем приводить полный вывод формулы для изменения длины волны, а запишем только законы сохранения и окончательную формулу. Так как эффект Комптона наблюдается только для фотонов с большой энергией (рентгеновские и гамма-лучи), то при вычислениях необходимо использовать формулы СТО, и вывод становится громоздким. [x]

На рис. показано столкновение первоначального фотона с энергией hnо с электроном в веществе (на рис. не показан). Импульс и энергия электрона до столкновения пренебрежимо малы по сравнению с импульсом и энергией фотона, т.е. электрон можно считать свободным. (Обычно употребляется выражение «рассеяние фотона на свободном электроне»). После столкновения фотон отклоняется от первоначального направления под углом q , а его энергия уменьшается и становится равной hn.Электрон получает импульс и кинетическую энергию и летит под углом j. (электрон отдачи, угол отдачи).

закон сохранения импульса в векторном и скалярном виде (теорема косинусов). - импульс падающего фотона, - импульс рассеянного фотона, - импульс электрона. q - угол рассеяния    
закон сохранения энергии - энергия падающего фотона, - энергия рассеянного фотона, - кинетическая энергия электрона отдачи (электрон релятивистский).

Подставив в эти законы выражения для указанных величин, приведенные ниже, после преобразований получим:

 

¨ или изменение длины волны при комптоновском рассеянии излучения (на свободном электроне) Из формул следует, что комптоновское изменение длины волны не зависит от природы рассеивающего вещества, а определяется только углом наблюдения.

 

= 2,43 пм = 2,43×10-12 м Эта величина называется комптоновской длиной волны электрона

Комптоновское рассеяние может наблюдаться и на свободном протоне, тогда следует использовать комптоновскую длину волны протона:

Из формулы (¨) следует, что изменение l при различных углах рассеяния равно:

q = 0о Dl = 0 фотоны, продолжающие лететь в первоначальном направлении, не изменяют свою длину волны
q = 90о Dl = в этом случае изменение l равно комптоновской длине волны электрона
q = 180о Dl = максимальное изменение l происходит в случае, когда рассеянный фотон движется в противоположном направлении

 

Ниже приводится таблица формул, используя которые можно получить выражение (¨) для Dl. Компактное расположение формул облегчает также решение задач.

энергия падающего и рассеянного фотонов
импульс --²--
релятивистская кинетическая энергия электрона отдачи
по этой формуле можно найти угол отдачи j

 

Комптоновское рассеяние наблюдается только для рентгеновских и гамма-лучей. В этом случае изменение длины волны сравнимо с длиной волны падающего излучения, и может быть измерено экспериментально. Для видимого света обнаружить эффект Комптона невозможно, т.к. максимальное изменение Dl = 0,48 пм слишком мало по сравнению со средней длиной световой волны

l » 500 нм = 500000 пм (зеленый свет) и перекрывается тепловым уширением спектральных линий..

Эффект Комптона доказывает, что: 1) свет имеет квантовую природу и

2) для элементарных процессов взаимодействия частиц применимы законы сохранения импульса и энергии.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ АТОМОВ И МОДЕЛЬ АТОМА БОРА.

Ядерная модель атома.

Резерфорд на основании опытов по рассеянию альфа-частиц на металлической фольге (1909-10 гг.) предложил ядерную (планетарную) модель атома. Атом представляет собой очень маленькое ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома, а вокруг ядра вращаются электроны подобно планетам солнечной системы. Эта модель оказалась несостоятельной, она не могла объяснить, почему спектры излучения газов состоят из отдельных линий, а не являются сплошными. Электроны, обладающие ускорением, должны непрерывно излучать электромагнитные волны, терять энергию и, в конце концов, упасть на ядро. Однако атомы являются устойчивыми системами.

В 1913 г Бор дополнил модель Резерфорда, выдвинув принципиально новые предположения (постулаты).

 

Постулаты Бора:

 

В атомах существуют особые стационарные орбиты, на которых электрон может двигаться сколь угодно долго. Целые числа - номера орбит - получили впоследствии название квантовых чисел. При n = 1 . Т.о. представляет собой минимальный момент импульса или минимальный квант действия
Момент количества движения (момент импульса) электрона на таких орбитах равен:
При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую происходит излучение (или поглощение) кванта энергии. Е – энергия электрона на орбите

 

Теория Бора может быть названа полуклассической, полуквантовой. В этой теории движение электрона на орбите описывалось классическими законами (формулы – см. дальше). Вместе с тем, теория приводила к тому, что скорость, радиус орбиты, энергия электрона не могут иметь любые значения, а квантуются, т.е. могут принимать только дискретные (отдельные) значения.

Теория Бора хорошо описывала закономерности в спектре атома водорода и водородоподобных атомов.(Водородоподобными атомами называют атомы (или ионы) у которых на последней орбите имеется только один электрон). Однако, для атома гелия (Z = 2) и других элементов теория Бора не давала совпадения с опытом.