Метод інтегрування частинами

Розділ I

Невизначений інтеграл

означення. функція F(x) називається первісною функції f(x) на проміжку I, якщо для всіх .

Теорема.Якщо функція F(x) є первісною функції f(x) на проміжку I, то функція , де С – довільна стала, також буде первісною даної функції на I.

Правильним є й обернене твердження: кожну функцію, що є первісною функції f(x) на проміжку I, можна подати у вигляді , де С – довільна стала.

Операція знаходження для функції всіх її первісних називається інтегруванням функції і є оберненою операцією відносно диференціювання.

Вираз , де С – довільна стала, називається невизначеним інтеграломі позначається ,тобто = . при цьому вираз називається підінтегральним виразом, а функція f(x) підінтегральною функцією.

отже для того, щоб знайти невизначений інтеграл від заданої функції f(x), потрібно знайти одну з первісних даної функції та додати до неї довільну сталу. правильність інтегрування перевіряють диференціюванням: .

 

Властивості невизначеного інтеграла

1.

2.

3.

4.

таблиця основних інтегралів

1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.

Розглянемо основні методи інтегрування.

ЗАДАЧА 1 (1.1-1.30).Знайти інтеграл безпосереднім інтегруванням.

Приклад 1.1 Знайти .

Розв'язання. Подамо даний інтеграл у вигляді суми табличних інтегралів: = = = = =

Відповідь.

ПРИКЛАД 1.2 Знайти .

Розв'язання. = = = = .

Відповідь.

 

 

ЗАДАЧА 1. Індивідуальні завдання

1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.

Метод внесення функції під знак диференціала

метод внесення функції під знак диференціала доцільно застосовувати, якщо підінтегральний вираз можна подати у вигляді добутку деякої функції та її диференціала, тобто

.

наведемо деякі корисні співвідношення (таблиця диференціалів):

 

,

 

ЗАДАЧА 2 (2.1-2.30)Знайти невизначений інтеграл за допомогою метода введення функції під знак диференціала.

Приклад 2.1знайти інтеграл .

Розв'язання. = =

=

Відповідь.

приклад 2.2Знайти інтеграл .

Розв'язання. Виділимо повний квадрат у виразі, що знаходиться у знаменнику підінтегрального виразу: . враховуючи, що , знаходимо інтеграл: = =

Відповідь.

 

ЗАДАЧА 2. Індивідуальні завдання

1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.

 

метод інтегрування частинами.

для знаходження інтегралів від добутку многочленів на трансцендентну функцію (1,2)

1.

2. , а також інтегралів виду

3. та інш.

застосовують формулу , (1)

де - диференційовані функції. В інтегралах першого типу за u слід брати многочлен, а за ту частину підінтегрального виразу, що залишилась. В результаті інтеграл має стати простішим порівняно з початковим. в інтегралах другого типу навпаки за u приймаємо логарифмічну чи обернену тригонометричну функції. в інтегралах третього типу отримуємо лінійне рівняння відносно початкового інтеграла.

задача 3 (3.1-3.30)знайти невизначений інтегралза допомогою методу інтегрування частинами.

приклад 3.1знайти інтеграл .

Розв'язання. Покладаємо , тоді , . Згідно з формулою інтегрування частинами маємо: = + = + .

Відповідь. +

приклад 3.2знайти інтеграл .

Розв'язання. Покладаємо , , тоді , . застосувавши формулу інтегрування частинами, отримуємо: = = - . Інтеграл також знаходимо методом інтегрування частинами. Покладаємо , тоді , = - = - = - +С.

остаточно маємо: = - + +С

Відповідь. - + +С