ЗАДАЧА 12 індивідуальні завдання

, ,
,
,
, .
, ,
, , .
, ,
, , .
, ,
,
, .
, .
, , .
, , .
,
,
,
,
, /
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,

Знаходження довжини плоскої кривої

Довжина дуги гладкої плоскої кривої, заданої рівнянням на відрізку , обчислюється за формулою

. (10)

Якщо ж крива задана параметрично:

, , ,

то

. (11)

Крива може бути задана в полярній системі координат:

, .

Тоді

. (12)

Задача 13. (13.1. а, б – 13.30. а, б.). Обчислити довжину дуги заданої плоскої кривої

Приклад 13.1 Знайти довжину дуги лінії кардіоїди, що задана рівнянням , .

Рис. 11

Розв'язання. Зробимо схематичний рисунок кардіоїди (рис. 11). З рисунок видно, що крива складається з двох симетричних частин, одна з яких (AmO) відповідає зміні кута від 0 до , друга – (O n A) – від до . Тому достатньо обчислити довжину половини дуги і подвоїти результат. Крива задана в полярній системі координат. Тому для розв’язання задачі потрібно використати формулу (12).

Спочатку знаходимо довжину дуги (AmO), що описується при зміні кута від 0 до :

Так як при , то і

, лін. од.

 

приклад 13.2. Обчислити довжину дуги напівкубічної параболи , що вирізана параболою .

 

Розв'язання. Зробимо схематичний рисунок (рис. 12) З рисунка видно, що в задачі потрібно знайти довжину дуги , що складається з двох симетричних частин. Тому достатньо обчислити довжину дуги АВ і подвоїти результат. Для знаходження меж інтегрування достатньо знайти абсцису точки В, оскільки абсциса точки А уже відома і рівна p. Розв’яжемо систему рівнянь двох парабол:

Рис. 12

.

Отримали кубічне рівняння, розв’язок якого знаходимо підбором: .

Так як функцію можна записати рівнянням , то для розв’язання задачі використовується формула (10), де , , , .

 

Зауваження. 1. якщо при обчисленні довжин дуг, межі інтегрування відомі, будувати рисунок не обов’язково.

 

2. В деяких випадках при використанні формули (10) доцільно в якості значення функції покласти змінну x і формула (10) матиме вигляд , де дуга кривої буде задана рівнянням , .

 

 

ЗАДАЧА 13. Індивідуальні завдання

1. а) , . б) .
2.а) , . б) , .
3. а) . б)
4 а) , . б) ,
5. а) , . б)
6. а) , . б)
7.а) , . б) .
8. а) . б) .
9. а) , . б)
10. а) , . б) .
11. а) , . б)
12. а) , . б) ,
13.а) , . б) .
14.а) , . б) .
15.а) , . б) .
16. а) . б) , .
17.а) , . б) .
18. а) , . б) .
19.а) , . б) , .
20. а) . б) , .
21. а) , . б) .
22.а) , . б) , .
23. а) , . б) .
24. а) . б) , .
25. а) , б) .
26.а) , . б) , .
27.а) , . б) .
28.а) , . б) ,
29.а) , . б) .
30. а) , б) .

Знаходження площ поверхонь та

Об’ємів тіл обертання

Нехай задана криволінійна трапеція (рис. 13), що спирається на вісь OX і обмежена неперервною кривою . Обертаючи таку трапецію навколо осі ОХ, отримаємо тіло обертання, об’єм якого обчислюється за формулою

. (13)

Якщо ж трапеція спирається на вісь OY (мал. 14) і обертається навколо осі OY, то об’єм тіла обертання обчислюється за формулою

 

(14)

Зауваження 1. Якщо крива, що обмежує трапецію, задається n аналітичними виразами, то задана трапеція розбивається на n трапецій. Тоді обчислюють об’єм тіл, отриманих обертанням кожної з n трапецій, і результати сумують.

Рис. 13 Рис. 14

Зауваження 2. Якщо тіло утворюється обертанням фігури, що не є трапецією (рис. 15), то воно розкладається на трапеції: знаходять об’єм тіл обертання кожної з побудованих трапецій. Тоді результуючий об’єм V=Vоб. А1 А m B B1 -. Vоб. А1 А n B B1.

Рис. 15

3. У випадку параметрично заданої кривої , слід у формулах (13), (14) покласти , , , і знайти відповідні межі зміни змінної t. Схема розв’язання задачі обчислення об’єма тіла обертання наступна:

1) виконати схематичний малюнок фігури, об’єм тіла обертання якої потрібно знайти;

2) знайти межі інтегрування (див. схему розв’язку задачі 9);

3) скласти, а потім і обчислити визначений інтеграл.

 

Задача 14. (14.1 – 14.30). Обчислити об’єм тіла обертання або площу поверхні тіла обертання.

Приклад 14.1Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі OX фігури, обмеженої напівеліпсом , напівпараболою і віссю OY.

Розв'язання. Зробимо схематичний рисунок. Рівняння задає верхню пловину еліпса ; рівняння задає праву вітку параболи з вершиною в точці (0,1), що перетинає вісь ОХ в точках (1,0), (-1,0). Навколо осі ОХ обертається заштрихована фігура АВС. Об’єм тіла обертання знайдемо як різницю об’ємів, отриманих від обертання трапецій ОВС та ОАС. Використаємо формулу (13):

куб. од.

Якщо навколо осі координат обертається дуга кривої АВ (рис. 16, 17), то утворюється поверхня обертання, площа Р якої обчислюється за наступними формулами:

Рис. 16 Рис. 17

крива задана явним рівнянням і обертається навколо осі ОХ, :

; (15)

крива задана параметрично , , і обертається навколо осі ОХ:

; (16)

крива задана явним рівнянням і обертається навколо осі OY (рис. 17):

; (17)

крива задана параметрично , , і обертається навколо осі OY:

. (18)

Приклад 14.1Знайти площу поверхні, утвореної обертанням астроїди навколо осі ОХ.

Розв'язання. Будуємо схематичний рисунок поверхні, утвореної обертанням астроїди в параметричній формі:

Астроїда симетрична відносно осей координат. Тому для розв'язання задачі достатньо обчислити площу поверхні, отриманої обертанням дуги АВ, що розміщення в першій четверті, і результат помножити на 2.

Розв’язання1. Для обчислення площі поверхні обертання астроїди навколо осі ОХ використаємо параметричне задання кривої, а отже, формулу (16). Так як дуга АВ описується при , то

Шукана площа (кв. од.).

Розв'язання.2. Для розв’язання використаємо початкове рівняння астроїди, а отже, формулу (15). З рівняння астроїди

.

За формулою (15)

(кв. од.)

Зауваження. Порівнюючи наведені два розв’язки, бачимо, що перший спосіб приводить до більш простих операцій обчислювального характеру. В деяких випадках перехід до параметричної форми задання кривої може значно спростити інтеграл, отриманий в результаті розв’язку задачі.