§3.5. Плоскости и прямые в пространстве
В этом параграфе собраны задачи, для решения которых требуется знание как уравнений прямой в пространстве, так и уравнений плоскости. Предполагается, что вы уже знаете основные формулы и способы решения простейших задач на прямую и на плоскость.
Пример 3.52. Заданы прямые 
В 
, 
В 
, 
В 
. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через:
а) точку 
Вперпендикулярно РїСЂСЏРјРѕР№ ;
Р±) пересекающиеся прямые ВРё ;
РІ) параллельные прямые ВРё .
∆ а) Если плоскость 
Вперпендикулярна РїСЂСЏРјРѕР№ 
, то в качестве нормального вектора к этой плоскости можно взять направляющий вектор заданной прямой (рис.3.48), т.е. для искомой плоскости 
. По точке 
ВРё вектору 
Всоставляем уравнение 
Вили 
.
б) Направляющие векторы 
ВРё 
Вобеих прямых параллельны РёСЃРєРѕРјРѕР№ плоскости, Р° РІ качестве начальной можно взять любую РёР· точек, заданных РЅР° этих прямых, например, 
В(СЂРёСЃ. 3.49). Уравнение составляем РІ РІРёРґРµ определителя
.
Оно равносильно следующему: 
.
в) В этом случае также известны два направляющих вектора , 
ВРё РЅР° каждой РёР· прямых РїРѕ точке: ВРё 
. Так как векторы 
ВРё 
Вколлинеарны, РѕРЅРё РЅРµ задают плоскость однозначно. Для составления уравнения можно использовать только РѕРґРёРЅ РёР· РЅРёС…, например, . Вторым вектором возьмем 
, который параллелен искомой плоскости в силу того, что обе точки 
ВРё 
ВРІ ней лежат (СЂРёСЃ.3.50). Выбираем РІ качестве начальной точку ВРё получаем уравнение
Вили 
.в–І
Пример 3.53. Составить общее уравнение в векторной форме плоскости, проходящей через:
Р°) РїСЂСЏРјСѓСЋ 
ВРё точку ;
Р±) РїСЂСЏРјСѓСЋ 
Вперпендикулярно плоскости 
.
∆ РР· векторного параметрического уравнения заданной РїСЂСЏРјРѕР№ находим направляющий вектор 
ВРё координаты РѕРґРЅРѕР№ РёР· ее точек 
. На рисунке 3.51 видно, что векторы 
ВРё 
Впараллельны РёСЃРєРѕРјРѕР№ плоскости. Нормальным для нее является любой вектор, перпендикулярный РёРј РѕР±РѕРёРј, например,
.
Р’ качестве начальной точки можно выбрать точку Влибо 
. Если возьмем , получим уравнение 
Вили 
.
б) Так как искомая и заданная плоскости перпендикулярны, то нормальный вектор одной из них параллелен другой (см. пример 3.20). Поэтому в качестве одного из векторов, параллельных искомой плоскости, можно взять нормальный вектор заданной плоскости 
, а в качестве другого – направляющий вектор заданной прямой 
. Кроме того, точка 
, лежащая на заданной прямой, лежит и в искомой плоскости. Находим нормальный вектор
и составляем уравнение
Вили 
. в–І
Пример 3.54. Найти точку пересечения прямой 
ВРё плоскости 
.
∆ Перепишем уравнения прямой и плоскости в общем виде: 
, 
, РіРґРµ 
, 
, 
, 
. Точка пересечения принадлежит как заданной прямой, так и заданной плоскости, поэтому она удовлетворяет одновременно двум уравнениям. Значит, эту точку можно найти как решение системы
В
Система решается известным школьным методом: одно из неизвестных выражаем из одного уравнения и подставляем во второе. Часто студенты предлагают такой вариант: надо найти 
, так Рё выразим его РёР· второго уравнения. РќРѕ тогда пришлось Р±С‹ применить операцию деления числа РЅР° вектор, которую РјС‹ РЅРµ вводили. Теперь понятно, почему: второму уравнению системы удовлетворяет бесчисленно РјРЅРѕРіРѕ векторов, РёС… концы образуют целую плоскость. Р’ первом же уравнении Вуже выражено через 
, его можно подставить во второе: 
. После преобразований получаем: 
В 
В 
. Необходимые скалярные произведения вы должны уже уметь считать устно. Получаем 
. Подставляя найденное значение ВРІ уравнение заданной РїСЂСЏРјРѕР№, находим РёСЃРєРѕРјСѓСЋ точку 
.в–І
Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая и плоскость могут располагаться следующим образом: прямая может пересекать плоскость, может быть ей параллельной, а может лежать в плоскости. Определить, какой из случаев имеет место, можно двумя способами.
1-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Прямая Впересекает плоскость ВРІ том Рё только том случае, РєРѕРіРґР° направляющий вектор РїСЂСЏРјРѕР№ ВРё нормальный вектор плоскости ВРЅРµ перпендикулярны (СЂРёСЃ. 3.52). Если же РѕРЅРё перпендикулярны, то прямая либо лежит РІ плоскости, либо ей параллельна. Различить эти РґРІР° случая можно проверив, принадлежит ли плоскости какая-либо точка РїСЂСЏРјРѕР№.
2-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Выяснить взаимное расположение РїСЂСЏРјРѕР№ Рё плоскости можно также РїРѕ количеству РёС… общих точек: если общая точка РѕРґРЅР°, то прямая пересекает Вплоскость, если Вбесчисленно РјРЅРѕРіРѕ, то РѕРЅР° принадле-
жит плоскости, если общих точек нет, то прямая параллельна плоскости.
Пример 3.55. Выяснить взаимное расположение РїСЂСЏРјРѕР№ ВРё плоскости ВРІ зависимости РѕС‚ значений параметров 
ВРё 
, если эти плоскость и прямая заданы следующими уравнениями:
Р°) : 
,ВВВВВВ : 
;
Р±) : 
,ВВВВ : 
.
∆ а) 1-й способ. Выписываем направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости: 
, 
. Условием ихперпендикулярности является равенство нулю скалярного произведения: 
. Отсюда получаем 
. Ртак, если 
, то прямая пересекает плоскость. Пусть теперь . Возьмем на прямой точку 
ВРё проверим, принадлежит ли РѕРЅР° плоскости, для чего подставим координаты точки ВРІ уравнение этой плоскости: 
. Мы видим, что при 
Вточка лежит РІ плоскости, Р° РїСЂРё 
В– нет. Таким образом, если ВРё , то прямая Впараллельна плоскости , Р° если ВРё , то прямая лежит РІ этой плоскости.
2-й способ.Находим общие точки прямой и плоскости, решая систему, составленную из их уравнений обычным образом, т.е. подставляя неизвестные, выраженные в уравнениях прямой через , в уравнение плоскости: 
. После преобразований получаем линейное относительно переменной Вуравнение 
ВСЃ РґРІСѓРјСЏ параметрами ВРё . Рто уравнение РїСЂРё Вимеет единственное решение, С‚.Рµ. прямая Рё плоскость имеют единственную общую точку, значит, РѕРЅРё пересекаются. РџСЂРё ВРё Врешений нет, общих точек нет, прямая параллельна плоскости. РџСЂРё ВРё Вуравнение имеет бесчисленное множество решений, прямая лежит РІ плоскости.
Р±) 1-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Решаем так же, как Рё задачу Р°): 
, 
. Условие перпендикулярности: 
, 
. Если 
, то прямая пересекает плоскость. Пусть . Подставляем радиус-вектор 
Вточки, принадлежащей РїСЂСЏРјРѕР№, РІ уравнение плоскости: 
В 
В 
. РџСЂРё ВРё 
Впрямая параллельна плоскости, РїСЂРё ВРё 
Впрямая лежит РІ ней.
2-й способ.В уравнение плоскости подставляем , выраженное из уравнения прямой:
В В 
.
Если , то уравнение имеет единственное решение, прямая пересекает плоскость. Если же , то РїСЂРё Врешений бесчисленно РјРЅРѕРіРѕ, прямая лежит РІ плоскости, ВР° РїСЂРё ВРё Врешений нет, Впрямая Рё
плоскость параллельны. ▲
Замечание. По выкладкам оба способа примерно равноценны, однако второй проще запомнить, точнее, его не надо запоминать. Кроме того, в случае пересечения прямой с плоскостью этот способ позволяет сразу найти точку пересечения.
Пример 3.56. Найти точку, симметричную точке 
Вотносительно РїСЂСЏРјРѕР№ 
.
∆ 1-й способ. Для построения искомой точки 
Вследует вначале найти основание перпендикуляра, проведенного РёР· точки ВРє заданной РїСЂСЏРјРѕР№. РЎ этой целью через точку ВРїСЂРѕРІРѕРґРёРј плоскость , перпендикулярную Рє заданной РїСЂСЏРјРѕР№ , Рё находим точку 
Впересечения плоскости ВРё РїСЂСЏРјРѕР№ . Затем строим точку Втак, чтобы Вбыла серединой отрезка 
В(СЂРёСЃ.3.53).
Направляющий вектор 
ВРїСЂСЏРјРѕР№ Вявляется нормальным для плоскости . Составляем уравнение плоскости :
.
Чтобы найти точку , следует решить совместно уравнения плоскости ВРё РїСЂСЏРјРѕР№ . РЎ этой целью, как обычно, , выраженное РёР· уравнения РїСЂСЏРјРѕР№, подставляем РІ уравнение плоскости:
В В 
В
В В 
.
Точку Внаходим, используя операцию откладывания вектора РѕС‚ точки: 
, 
В В 
.
2-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. РќР° СЂРёСЃСѓРЅРєРµ 3.54:
ВВВВВВВВВВВВВВ ВВВВВВВВВВВ В 
.ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ (3.39)
В рассматриваемом случае 
, 
;
.
Так как 
, то получаем ту же точку .▲
Пример 3.57. 
ВПоложение плоского зеркала определяется уравнением 
. С какой точкой должно совпадать зеркальное изображение точки 
?
∆ 1-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Зеркальное изображение совпадает СЃ точкой , симметричной точке Вотносительно заданной плоскости. Для построения РёСЃРєРѕРјРѕР№ точки Вчерез точку Впроведем РїСЂСЏРјСѓСЋ , перпендикулярную заданной плоскости, найдем точку Впересечения этой РїСЂСЏРјРѕР№ СЃ плоскостью , Р° затем построим точку Втак, чтобы Вбыла серединой отрезка В(СЂРёСЃ. 3.55). Вектор 
Вперпендикулярен плоскости ВРё параллелен РїСЂСЏРјРѕР№ . Параметрические уравнения РїСЂСЏРјРѕР№ : 
. Подставляем в уравнение плоскости:
В В 
В В 
.
Параметрические уравнения любой РїСЂСЏРјРѕР№ можно рассматривать как закон равномерного прямолинейного движения, причем параметр ВРІ этих уравнениях можно считать временем движения. Р’ данном случае движение начинается РёР· точки . Если РёР· ВРІ Вточка пришла Р·Р° время 
, то РІ точку ВРѕРЅР° будет идти РІ РґРІР° раза дольше, С‚.Рµ. 
, значит, 
.
2-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Выберем РІ плоскости Впроизвольную точку . РќР° СЂРёСЃСѓРЅРєРµ 3.56
.
РўРѕРіРґР°
ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ 
ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ(3.40)
(сравните с формулой (3.13)). В рассматриваемом случае
, значит, .▲
Пример 3.58. Составить уравнение проекции прямой 
ВРЅР° плоскость 
, если эта прямая и эта плоскость заданы уравнениями:
Р°) : 
;ВВ : 
;
Р±) : 
ВВВ : 
.
∆ Чтобы спроектировать РїСЂСЏРјСѓСЋ ВРЅР° плоскость , следует через Впровести плоскость 
, перпендикулярную плоскости , т.е. проектирующую плоскость (рис 3.57). Проекция (прямая 
) задается РІ РІРёРґРµ пересечения плоскостей ВРё .
а) Для составления уравнения проектирующей плоскости имеем векторы 
В– направляющий вектор РїСЂСЏРјРѕР№ , Рё 
В– нормальный вектор плоскости . РћР±Р° РѕРЅРё параллельны плоскости . Рспользуя РІ качестве начальной точку 
, лежащую на заданной прямой, получаем уравнение
Вили 
.
Таким образом, проекция задается системой 
Р±) Прямая Впредставлена РІ РІРёРґРµ пересечения плоскостей, каждая РёР· которых задана общим уравнением РІ векторной форме. Р’ этом случае для составления уравнения плоскости ВСѓРґРѕР±РЅРѕ использовать уравнение пучка (3.24): 
. Так как плоскости ВРё Вперпендикулярны, то нормальные векторы 
ВРё 
Втакже перпендикулярны, С‚.Рµ. РёС… скалярное произведение равно нулю. Для нахождения ВРё 
Вполучаем уравнение 
, ненулевым решением которого является, например, пара 
, 
. Плоскость Взадается уравнением 
, а проекция – системой 
в–І
Пример 3.59.Положение плоского зеркала задано уравнением 
. Луч света, направленный по прямой 
, падает на зеркало. Найти угол падения и уравнение прямой, по которой направлен отраженный луч.
∆ Сделаем СЂРёСЃСѓРЅРѕРє сечения плоскостью, проходящей через РѕР±Р° луча (СЂРёСЃ.3.58). РќР° этом СЂРёСЃСѓРЅРєРµ плоскость В– это зеркало, ВРё В– прямые, РїРѕ которым направлены падающий Рё отраженный лучи соответственно.
Угол падения 
В– это СѓРіРѕР» между нормалью Рє плоскости Рё падающим лучом. Так как 
В– направляющий вектор заданной РїСЂСЏРјРѕР№, Р° 
В– нормальный вектор заданной плоскости, то
, 
.
Для составления уравнения отраженного луча прежде всего надо знать Вкакую-либо его точку. Можно найти точку 
Ввстречи падающего луча Рё зеркала, для чего, как обычно, решим систему:
В 
В В 
В 
.
Найдем направляющий вектор искомой прямой.
1-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±, который чаще всего предлагают студенты. Падающий Рё отраженный лучи лежат РІ РѕРґРЅРѕР№ плоскости СЃ нормалью Рє зеркалу, С‚.Рµ. векторы , ВРё Вкомпланарны. Рто значит, что РёС… смешанное произведение равно нулю. Если 
В– СѓРіРѕР» отражения, то углы ВРё Вравны, поэтому Рё 
. Обозначим направляющий вектор искомой прямой 
. РўРѕРіРґР°
, 
,
,
Для облегчения вычислений добавим еще условие равенства длин векторов ВРё . Получаем систему уравнений
Решаем систему обычными школьными методами: отняв РѕС‚ первого уравнения второе, Р° затем, подставив результат РІ первое, находим 
, 
. После подстановки в третье уравнение получаем 
. Последнее уравнение имеет два корня 
ВРё 
. Первый корень приведет нас Рє вектору . Рспользуя второй, получаем 
, 
. Учитывая, что направляющий вектор определяется неоднозначно, умножим все координаты на 7 и получим 
.
2-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Посмотрим еще раз внимательно РЅР° СЂРёСЃСѓРЅРѕРє 3.58. Р’РёРґРЅРѕ, что прямые, РЅР° которых лежат падающий Рё отраженный лучи, симметричны относительно плоскости . РР· параметрических уравнений РїСЂСЏРјРѕР№ ВРјС‹ можем определить РЅР° ней РѕРґРЅСѓ РёР· точек 
. Если В– точка, симметричная точке Вотносительно плоскости , то вектор 
Вбудет направляющим для РїСЂСЏРјРѕР№ В(СЂРёСЃ.3.59).
Точку Внаходим РїРѕ формуле (3.40):
.
Ртак, 
, 
. Последний вектор коллинеарен вектору , найденному первым способом, что подтверждает верность наших выкладок.
3-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Так как прямые ВРё Всимметричны относительно плоскости зеркала, то РІ качестве вектора, направляющего для , можно взять вектор 
, симметричный Вотносительно плоскости . РќР° СЂРёСЃСѓРЅРєРµ 3.60
ВВВВВВ 
.ВВВВВВ (3.41)
В нашем случае
.
Как Рё следовало ожидать, опять получили вектор, коллинеарный . РџРѕ этому вектору Рё начальной точке Взаписываем параметрические уравнения РїСЂСЏРјРѕР№, РЅР° которой лежит отраженный луч:
.
Если еще раз просмотреть все три способа, можно заметить, что первый, основанный на физических соображениях, на самом деле оказывается самым трудоемким, так как приходится решать систему с уравнением второй степени. Второй способ несколько проще, но и здесь приходится работать с дробями. В последнем способе вычисления совсем простые, если хорошо знать векторную алгебру. Кроме того, этим способом получена готовая формула (3.41) для нахождения вектора, симметричного заданной плоскости. ▲
Пример 3.60.Найти прямую , пересекающую две прямые 
ВРё 
, а также проходящую через точку а) ; б) 
.
∆ Р°) 1-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Рщем РїСЂСЏРјСѓСЋ РІ РІРёРґРµ пересечения плоскостей. Если прямые ВРё Впересекаются, то РѕРЅРё лежат РІ РѕРґРЅРѕР№ плоскости , которой также принадлежит Рё точка В(СЂРёСЃ. 3.61). Для составления уравнения этой плоскости имеем РЅР° выбор РґРІРµ точки 
ВРё 
, векторы 
В(направляющий вектор РїСЂСЏРјРѕР№ ) Рё 
, параллельные плоскости. Уравнение плоскости :
Вили 
.
Аналогично составляется уравнение плоскости , проходящей через РїСЂСЏРјСѓСЋ ВРё ту же точку : 
, 
В(направляющий вектор РїСЂСЏРјРѕР№ ), 
. Уравнение плоскости :
Вили 
.
Рскомая прямая задается системой: 
2-й способ. Параметрические уравнения любой прямой, проходящей через точку , имеют вид 
, РіРґРµ 
В– неизвестный РїРѕРєР° еще направляющий вектор. Его надо подобрать так, чтобы искомая прямая пересекалась как СЃ , так Рё СЃ . Если ВРё Впересекаются, то РѕРЅРё лежат РІ РѕРґРЅРѕР№ плоскости. Рто значит, что векторы , ВРё Вкомпланарны. Точно так же компланарными должны быть векторы , ВРё 
. РР· условий компланарности получаем:
ВРё 
В В 
В В 
.
Одним из направляющих векторов может служить 
, а параметрические уравнения запишутся так: 
.
б)Задача решается точно так же, как и предыдущая.
1-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±. Р’ РІРёРґРµ пересечения плоскостей. Для составления уравнения плоскости Вимеем РґРІРµ точки ВРё , Р° также векторы В(направляющий вектор РїСЂСЏРјРѕР№ ) Рё 
, параллельные плоскости. Уравнение плоскости Вимеет РІРёРґ
Вили 
.
Для уравнения плоскости : , , , 
. Уравнение плоскости :
Вили .
Оказывается, не все так просто, вы заметили? Мы получили две одинаковые плоскости! Что это может означать? Попробуем решить задачу по-другому.
2-й способ. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку , имеют вид 
, В–направляющий вектор. Рскомая прямая пересекается Рё СЃ , Рё СЃ . Как Рё РІ предыдущей задаче, условия пересечения прямых РїСЂРёРІРѕРґСЏС‚ нас Рє равенству нулю определителей:
ВРё 
,