Задачи для самостоятельного решения

3.1.Запишите общее уравнение каждой из следующих прямых:

Р°) ; Р±) ; РІ) ; Рі) ; Рґ) .

3.2.Запишите векторное параметрическое уравнение для каждой из следующих прямых:

Р°) ; Р±) ; РІ) ; Рі) ; Рґ) .

3.3.РќР° плоскостизадана прямая . Составьте уравнение РїСЂСЏРјРѕР№ , проходящей через точку ВР°) параллельно , Р±) перпендикулярно , если уравнение РїСЂСЏРјРѕР№ Вимеет РІРёРґ:

1) ; 2) ; 3) .

3.4.Даны вершины треугольника: ВСоставьте

а) параметрические уравнения прямой ;

б) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно ;

в) общее уравнение высоты, проведенной из вершины .

3.5.Выясните взаимное расположение на плоскости следующих прямых:

Р°) ВРё ; Р±) ВРё ; РІ) ВРё .

3.6.Выясните взаимное расположение на плоскости следующих прямых, в случае их пересечения найдите точку пересечения :

Р°) ВРё ; Р±) ВРё ; РІ) ВРё ; Рі) ВРё .

3.7.Дан треугольник : . Составьте уравнения биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине .

3.8.Найдите точку , симметричную точке Вотносительно РїСЂСЏРјРѕР№ .

3.9.Даны РґРІРµ вершины треугольника , ВРё точка Впересечения его высот. Найдите координаты третьей вершины .

3.10.Луч света, РїСЂРѕР№РґСЏ через точки ВРё , упал РЅР° РїСЂСЏРјСѓСЋ ВРё отразился РѕС‚ нее. Запишите уравнение РїСЂСЏРјРѕР№, РїРѕ которой направлен отраженный луч.

3.11.Составьте уравнение РїСЂСЏРјРѕР№, проходящей через точку пересечения прямых ВРё , РЅРµ совпадающей СЃ данными Рё отсекающей РЅР° координатных РѕСЃСЏС… равные отрезки.

3.12.Составьте уравнение РїСЂСЏРјРѕР№, которая РїСЂРѕС…РѕРґРёС‚ через точку пересечения прямых , Вперпендикулярно второй РёР· РЅРёС….

3.13.Точка Вявляется основанием перпендикуляра, проведенного РёР· точки ВРЅР° плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.

3.14.Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через точку Впараллельно плоскости, проведенной через точки , ВРё .

3.15.Плоскость отсекает РЅР° координатных РѕСЃСЏС… , ВРё Вотрезки, величины которых равны соответственно 2, –3 Рё 5. Составьте уравнение этой плоскости.

3.16.Найдите основание перпендикуляра, проведенного РёР· точки ВРє РїСЂСЏРјРѕР№, РїРѕ которой пересекаются плоскости ВРё .

3.17.Даны вершины треугольной пирамиды , , , . Составьте уравнения плоскостей, равноудаленных от всех четырех вершин.

3.18.Плоскость , заданная уравнением , вместе с координатными плоскостями образует треугольную пирамиду. Найдите ребро куба, который можно поместить внутри этой пирамиды так, чтобы три его грани лежали в координатных плоскостях, а вершина, противолежащая началу координат лежала в плоскости .

3.19.Выясните взаимное расположение плоскостей:

Р°) ВРё ;

Р±) ВРё ;

РІ) ВРё ;

Рі) ВРё ;

Рґ) ВРё .

3.20.Составьте уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости ВРё проходящей через линию пересечения плоскостей ВРё .

3.21.Составьте параметрические уравнения РїСЂСЏРјРѕР№, проходящей через точки ВРё .

3.22.Составьте канонические уравнения РїСЂСЏРјРѕР№, проходящей через точку Вперпендикулярно плоскости .

3.23.Для РїСЂСЏРјРѕР№ Всоставьте уравнения: Р°) канонические; Р±) РІ РІРёРґРµ пересечения плоскостей.

3.24.Прямая задана в виде пересечения плоскостей

Составьте уравнения параллельной РїСЂСЏРјРѕР№, проходящей через точку ВР°) РІ РІРёРґРµ пересечения плоскостей; Р±) канонические.

3.25.Составьте параметрические уравнения прямой

.

3.26.Выясните взаимное расположение прямых в пространстве:

Р°)В ВВРё В ;

Р±)В ВРё ;

РІ)В ВРё ;

ВВВВ Рі) ВРё .

3.27.Выясните взаимное расположение прямых. В случае пересечения найдите точку пересечения.

Р°) ВРё ;

Р±) ВРёВ ;

РІ) ВРё ;

Рі) ВРё .

Задачи 3.28 и 3.29 относятся к теме «Прямая на плоскости».

3.28.ВСоставьте уравнения катетов равнобедренного прямоугольного треугольника, зная уравнение гипотенузы ВРё координаты РѕРґРЅРѕР№ вершины .

3.29.Зная уравнения сторон равнобедренного треугольника ВРё , найдите уравнение его третьей стороны, если РѕРЅР° РїСЂРѕС…РѕРґРёС‚ через точку .

3.30.Найдите СѓРіРѕР» между прямыми ВРё .

3.31.Найдите величину угла между плоскостями:

Р°) ВРё ;

Р±) ВРё .

3.32.Найдите СѓРіРѕР» между РїСЂСЏРјРѕР№ ВРё плоскостью .

3.33.Найдите расстояние РѕС‚ точки ВРґРѕ плоскости .

3.34.Проверьте, пересекает ли плоскость Вотрезок , если, Р° .

3.35.Найдите расстояние между параллельными плоскостями Р°) ВРё .

3.36.Найдите расстояние между параллельными плоскостями ВРё .

3.37.Составьте уравнение множества точек, равноудаленных РѕС‚ РґРІСѓС… параллельных плоскостей ВРё .

3.38.Составьте уравнение биссектрис углов, образованных РїСЂРё пересечении РґРІСѓС… прямых РЅР° плоскости: ВРё .

3.39.Составьте уравнение биссектрисы угла между прямыми РЅР° плоскости ВРё , которому принадлежит точка .

3.40.Составьте уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные двумя пересекающимися плоскостями, если эти плоскости заданы уравнениями:

Р°) ВРё ;

Р±) ВРё .

3.41.Составьте уравнение биссекторной плоскости двугранного угла между плоскостями ВРё , смежного СЃ тем, которому принадлежит точка .

3.42.РќР° РѕСЃРё Внайдите точку, равноудаленную РѕС‚ плоскостей ВРё .

3.43.РўСЂРё грани , ВРё Впараллелепипеда Влежат соответственно РІ плоскостях , , , центр параллелепипеда – точка . Составьте уравнения остальных граней параллелепипеда.

3.44.Найдите центр Рё радиус сферы, описанной около треугольной пирамиды СЃ вершинами , , ВРё .

3.45.Найдите центр Рё радиус сферы, вписанной РІ треугольную пирамиду СЃ вершинами , , ВРё .

3.46.Найдите центр и радиус сферы, вписанной в треугольную пирамиду, ограниченную тремя координатными плоскостями и плоскостью .

3.47.Составьте уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла, образованного плоскостями ВРё .

3.48.Найдите расстояние РѕС‚ точки ВРґРѕ РїСЂСЏРјРѕР№ .

3.49.Найдите расстояние между параллельными прямыми ВРё .

3.50.Найдите кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми ВРё .

3.51.Заданы точки ВРё прямые:

; ; . Составьте Р°) параметрические уравнения плоскости, проходящей через точки , ВРё ; Р±) общее уравнение плоскости, проходящей через точку ВРё РїСЂСЏРјСѓСЋ ; РІ) общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ВРё ; Рі) общее уравнение плоскости, проходящей через РїСЂСЏРјСѓСЋ Впараллельно РїСЂСЏРјРѕР№ .

3.52.Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через точку Вперпендикулярно РїСЂСЏРјРѕР№, если эта прямая задана уравнениями:

Р°) ; Р±) В

3.53.Составьте общее уравнение РІ векторной форме плоскости, проходящей через точку ВРё через РїСЂСЏРјСѓСЋ .

3.54.Составьте общее уравнение плоскости, проходящей:

Р°) через пересекающиеся прямые ВРё ;

Р±) через РїСЂСЏРјСѓСЋ Вперпендикулярно плоскости ;

РІ) через РїСЂСЏРјСѓСЋ Впараллельно РїСЂСЏРјРѕР№ .

3.55.Составьте общее уравнение плоскости РІ векторной форме, проходящей через РїСЂСЏРјСѓСЋ Впараллельно РїСЂСЏРјРѕР№ .

3.56.Выясните, как расположена прямая ВРїРѕ отношению Рє плоскости .

3.57.Напишите уравнение перпендикуляра, проведенного РёР· точки ВРє РїСЂСЏРјРѕР№ .

3.58.Найдите точку, симметричную точке Вотносительно РїСЂСЏРјРѕР№ .

3.59.Найдите точку, симметричную точке Вотносительно плоскости .

3.60.Составьте уравнение проекции РЅР° плоскость Вследующих прямых: Р°) ВР±) .

3.61.Составьте уравнения прямой, пересекающей две прямые

ВРё ВРё параллельной РїСЂСЏРјРѕР№ .

3.62.Составьте уравнения РїСЂСЏРјРѕР№, проходящей через точку ВРё пересекающей РґРІРµ прямые: ВРё .

3.63.Составьте уравнения общего перпендикуляра Рє скрещивающимся прямым ВРё .

 

Ответы. 3.1.Р°) ; Р±) ; РІ) ; Рі) ; Рґ) . 3.2.Р°) ; Р±) ; РІ ; Рі) ; Рґ) . 3.3.1)Р°) , Р±) ; 2) Р°) , Р±) ; 3) Р°) , Р±) . 3.4. Р°) ; Р±) ; РІ) . 3.5.Р°) параллельны; Р±) пересекаются; РІ) совпадают. 3.6.Р°) пересекаются, ; Р±) параллельны; РІ) совпадают. Рі) пересекаются, .3.7. , . Указание: СЃРј. пример 3.27. 3.8. .Указание: СЃРј. пример 3.10. 3.9. . 3.10. . 3.11. . 3.12. .3.13. . 3.14. .3.15. . 3.16. . 3.17.Плоскости, параллельные граням пирамиды: , , , ; плоскости, параллельные парам скрещивающихся ребер: , , . Указание: СЃРј. пример 3.21. 3.18.3.3.19.Р°) пересекаются; Р±) совпадают; РІ) параллельны; Рі) совпадают; Рґ) пересекаются. 3.20. . 3.21. . 3.22. . 3.23. Р°) ; Р±) . 3.24.Р°) ; Р±) . 3.25. . 3.26.Р°) параллельны; Р±) пересекаются; РІ) совпадают, Рі) скрещиваются.3.27.Р°) скрещиваются; Р±) совпадают; РІ) параллельны; Рі) пересекаются, . 3.28. ВРё . 3.29. ВРё .3.30. . 3.31.Р°) . Р±). .3.32. . 3.334.3.34. Нет.3.35. .3.36. . 3.37. . 3.38. ВРё . 3.39. . 3.40.Р°) ВРё ; Р±) ВРё . 3.41. . 3.42. ВРё . 3.43. ; ; . 3.44. . . 3.45. , . 3.46. , . 3.47. . Указание: СЃРј. пример 3.46. 3.48. . 3.49. . 3.50. . 3.51.Р°) ; Р±) ; РІ) ; Рі) . 3.52.Р°) ; Р±) . 3.53. . 3.54.Р°) ; Р±) ; РІ) . 3.55. . 3.56.Прямая принадлежит плоскости. 3.57. . Указание: СЃРј. пример 3.27 РІ). 3.58. . 3.59. . 3.60.Р°) ВР±) . 3.61. . 3.62.Такой РїСЂСЏРјРѕР№ РЅРµ существует. 3.63. .