Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

⇐ Назад

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Основные понятия

Определение 1.Уравнение вида:

(1)

называется дифференциальным уравнением второго порядка. Если из этого уравнения выразить

то оно называется разрешенным относительно второй производной.

Определение 2.Общим решением уравнения (1) называется семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных и :

или

В первом случае его называют общим решением, во втором – общим интегралом уравнения (1).

Определение 3.Задачей Коши для уравнения (1) и заданных начальных условий: называется поиск частного решения этого уравнения, удовлетворяющего этим начальным условиям:

где и определенные числа, полученные из общего решения при подстановке в него начальных условий.

Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

1) Уравнение не содержит явно и

Пусть дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

(2)

Тогда, учитывая равенство: получим:

Следовательно, общее решение уравнения (2) задается функцией:

2) Уравнение не содержит явно

Пусть уравнение (1) имеет вид:

(3)

Для решения такого уравнения выполняется замена:

Эта замена понижает порядок уравнения, приводя уравнение (3) к ДУ первого порядка:

Решим полученное уравнение относительно функции Получим общее решение этого уравнения:

где произвольная постоянная.

Далее, подставив в полученное решение получим дифференциальное уравнение первого порядка:

Откуда получим:

где произвольная постоянная.

Итак, получено общее решение уравнения (3):

3) Уравнение не содержит явно

Пусть уравнение (1) имеет вид:

(4)

Для решения такого уравнения выполняется замена:

Эта замена понижает порядок уравнения, приводя уравнение (4) к ДУ первого порядка:

Решим полученное уравнение относительно функции Получим общее решение этого уравнения:

где произвольная постоянная. Далее, подставив в полученное решение получим дифференциальное уравнение первого порядка:

Это уравнение с разделяющимися переменными:

где произвольная постоянная.

Итак, получим общий интеграл уравнения (4):

Примеры с решениями

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Это уравнение не содержит и Учитывая равенство получим

где и произвольные постоянные.

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Это уравнение не содержит явно . Поэтому выполним замену:

Такая замена понижает порядок данного уравнения и приводит к уравнению первого порядка:

Это уравнение является однородным первого порядка вида так как:

Выполним замену:

Тогда получим:

(*)

Уравнение получилось с разделяющимися переменными. Получим его решение, разделяя переменные, а затем интегрируя:

Получили общее решение уравнения (*). Вернемся к переменным и :

Подставив в общее решение, получим дифференциальное уравнение первого порядка:

где и произвольные постоянные.

Получили общее решение данного уравнения.

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение:

Решение. Это уравнение не содержит явно . Поэтому выполним замену:

Такая замена понижает порядок данного уравнения и приводит к дифференциальному уравнению первого порядка:

(**)

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как:

Получим его решение, разделяя переменные, а затем интегрируя:

Получили общее решение уравнения (**). Вернемся к переменным и

Подставив в полученное решение, получим дифференциальное уравнение первого порядка c разделяющимися переменными:

где и произвольные постоянные.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Ответ: .

Пример 4. Решить задачу Коши:

Решение. Данное уравнение не содержит явно Поэтому выполним замену:

Такая замена приводит к дифференциальному уравнению первого порядка:

(***)

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его, разделяя переменные, а затем интегрируя:

Получили общее решение уравнения (***). Вернемся к переменным и :

Подставив в полученное решение, получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

где и произвольные постоянные.

Получили общий интеграл данного уравнения. Используем начальные условия: чтобы найти значения и для частного решения данного уравнения.

Следовательно, решением задачи Коши является частное решение уравнения, получающееся из общего при подстановке в него значений и :

Ответ:

Примеры

Решить уравнения или задачи Коши:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Ответы

(или

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Замечание. Дифференциальные уравнения вида не содержащие в явном виде как независимую переменную так и искомую функцию можно решать как уравнение вида 2) или 3).

⇐ Назад

Далее ⇒