Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
(1)
где 
и 
постоянные величины, 
функция специального вида.
Пусть правая часть уравнения (1) имеет специальный вид. Тогда частное решение 
этого уравнения можно подобрать в зависимости от вида 
Такой метод называют методом неопределенных коэффициентов.
1) Пусть 
где 
многочлен степени 
.
Тогда частное решение подбирают в виде:
где а) 
многочлен степени с неопределенными коэффициентами, которые надо будет определить методом неопределенных коэффициентов;
б) 
если число 
и 
(корням характеристического уравнения);
если 
если 
2) Пусть 
где 
и 
заданные числа, причем хотя бы одно из чисел и 
не равно нулю. Тогда частное решение подбирают в виде:
где а) 
и 
– неопределенные числа, которые надо будет определить методом неопределенных коэффициентов;
б) если число 
не является корнем характеристического уравнения;
если число является корнем характеристического уравнения.
3) Пусть 
где 
и 
многочлены степени и 
соответственно, причем один из этих многочленов может быть равен нулю. Тогда частное решение подбирают в виде:
где а) 
и 
многочлены степени 
с неопределенными коэффициентами, которые надо будет определить методом неопределенных коэффициентов;
б) если число 
не является корнем характеристического уравнения;
если число является корнем характеристического уравнения.
Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом вариации произвольных постоянных
Пусть дано ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
(1)
и соответствующее уравнению (1) ЛОДУ:
(2)
для которого известна фундаментальная система решений 
и 
. Тогда общее решение ЛОДУ (2) запишется в виде:
(3)
где 
и 
– произвольные постоянные.
По методу вариации произвольных постоянных общее решение ЛНДУ (1) ищется в виде (3), считая, что и 
не постоянные, а некоторые функции от 
. (4)
Для нахождения 
и 
составим систему двух уравнений:
Решая эту систему, найдем 
и 
:
и 
Интегрируя полученные равенства, получим:
где 
и 
– произвольные постоянные.
Подставляя найденные и в формулу (4), получим общее решение ЛНДУ (1):
Примеры с решениями
Пример 1. Решить уравнение:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Решим это уравнение.
корни действительные и равные: 
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:
где 
и 
произвольные постоянные.
2) Правая часть ЛНДУ: 
т.е. имеет вид: 
где 
Поэтому 
и частное решение данного уравнения ищем в виде:
Отсюда находим 
Подставляя 
вместо 
в данное уравнение, получим равенство:
Следовательно, частное решение данного уравнения 
3) Найдем общее решение данного уравнения, воспользовавшись теоремой 2 (из §2):
Ответ: 
Пример 2. Решить уравнение:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:
где и произвольные постоянные.
2) Правая часть ЛНДУ: 
Поэтому 
Значит, частное решение ЛНДУ ищем в виде:
Отсюда находим 
. Подставляя 
вместо 
в данное уравнение, получим равенство:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
Следовательно, частное решение данного ЛНДУ имеет вид:
3) Найдем общее решение данного уравнения:
Ответ: 
Пример 3. Решить уравнение:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Поэтому корни характеристического уравнения действительные и равные:
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:
где и произвольные постоянные.
2) Правая часть данного ЛНДУ: 
т.е. 
где 
Поэтому частное решение ЛНДУ ищем в виде:
Отсюда находим 
Подставляя вместо в данное уравнение, получим равенство:
Следовательно, частное решение данного ЛНДУ имеет вид:
3) Найдем общее решение данного уравнения:
Ответ: 
Пример 4. Решить уравнение:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Поэтому корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:
где и произвольные постоянные.
2) Правая часть данного ЛНДУ: 
т.е. 
где 
Поэтому частное решение ЛНДУ ищем в виде:
Отсюда находим 
подставляем вместо в данное уравнение.
Подстановка в данное уравнение:
Следовательно, частное решение ЛНДУ:
3) Найдем общее решение данного ЛНДУ:
Ответ: 
Пример 5. Решить уравнение:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:
где и произвольные постоянные.
2) Правая часть данного ЛНДУ:
т.е. 
Значит, частное решение данного уравнения ищем в виде:
Отсюда находим 
Подстановка в данное ЛНДУ:
Следовательно, частное решение ЛНДУ:
3) Найдем общее решение ЛНДУ:
Ответ:
Пример 6. Решить задачу Коши:
Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Корни этого уравнения действительные и различные:
Следовательно, общим решением ЛОДУ является функция:
где и произвольные постоянные.
2) Правая часть данного ЛНДУ:
т.е. 
Тогда частное решение данного ЛНДУ надо подбирать в виде:
где и – некоторые числа, которые определяются методом неопределенных коэффициентов.
Найдём 
и 
и подставим 
и вместо 
и 
в заданное ЛНДУ:
Приравняем коэффициенты при 
и 
:
Следовательно, частным решением данного ЛНДУ является
3) Найдем общее решение заданного ЛНДУ:
4) Решим задачу Коши: найдем частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
Подставим в эти функции 
Следовательно, частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям, задается функцией:
Ответ: 
Пример 7. Решить уравнение:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:
где и произвольные постоянные.
2) Правая часть данного ЛНДУ состоит из двух различных по виду слагаемых:
Поэтому частное решение будет складываться из двух функций
каждая из которых будет частным решением для уравнений:
(*)
, т.е. 
где 
Поэтому 
ищем в виде:
Подставим найденные производные в уравнение (*):
Следовательно, частное решение для уравнения (*):
б) 
(**)
, т.е. 
где 
Поэтому частное решение 
ищем в виде:
Подставим найденные производные в уравнение (**):
Следовательно, частное решение для уравнения (**):
Значит, частным решением для данного ЛНДУ будет сумма 
3) Найдем общее решение ЛНДУ:
Ответ: 
Пример 8. Решить уравнение:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Следовательно, общим решением ЛОДУ будет функция:
где и произвольные постоянные.
2) Правая часть данного ЛНДУ: 
не соответствует методу подбора частного решения этого уравнения. Поэтому применим метод вариации произвольных постоянных. Будем искать общее решение данного ЛНДУ в том же виде, в котором получили общее решение его ЛОДУ, но вместо и 
берем функции:
Значит, общее решение ЛНДУ ищем в виде:
Для нахождения функций 
составим систему двух уравнений:
Проинтегрируем найденные 
:
Итак, 
Следовательно, общее решение данного уравнения:
.
Ответ:
Пример 9. Решить задачу Коши:
Решение:
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение:
Следовательно, общим решением ЛОДУ будет функция:
где и произвольные постоянные.
2) Правая часть данного ЛНДУ:
не соответствует методу подбора частного решения этого уравнения. Поэтому применяем метод вариации произвольных постоянных:
Общее решение ЛНДУ ищем в виде:
(***)
Для нахождения составим систему двух уравнений:
Решим систему по правилу Крамера:
Итак, 
Следовательно, общее решение данного ЛНДУ можно записать, подставляя
и 
в функцию (***):
где 
и 
произвольные постоянные.
3) Решим задачу Коши, т.е. найдем частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
Подставим начальные условия в общее решение 
и его производную 
Найденные значения и 
при их подстановке в общее решение дают частное решение ЛНДУ:
Ответ:
Примеры
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Решить дифференциальное уравнение методом неопределенных коэффициентов:
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
Ответы
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
§4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Основные понятия
Определение 1.Уравнение вида:
(1)
где 
заданные действительные числа, 
неизвестная функция, 
ее производные до n-го порядка включительно,
непрерывная на промежутке 
функция, называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) n-го порядка.
Если 
для всех 
то уравнение (1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка, соответствующим уравнению (1). Такое уравнение имеет вид:
. (2)
Для нахождения общего решения ЛОДУ достаточно найти n линейно независимых на промежутке решений 
Определение 2.Функции 
на промежутке называются линейно независимыми, если тождество:
для всех 
может выполняться только при 
Такую систему линейно независимых решений ЛОДУ называют фундаментальной.
Если найдена фундаментальная система решений ЛОДУ, то общее решение этого уравнения записывается в виде:
где 
произвольные постоянные.
Общее решение ЛНДУ (1) задается формулой:
где 
фундаментальная система решений соответствующего ЛОДУ (2), произвольные постоянные, 
некоторое частное решение ЛНДУ (1).
2. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение (2):
Его характеристическое уравнение имеет вид:
(3)
Рассмотрим возможные случаи, возникающие при решении уравнения (3).
1) Все корни уравнения (3) действительные и различные, обозначим их 
Тогда фундаментальную систему решений ЛОДУ составят функции:
а общее решение этого уравнения имеет вид:
где произвольные постоянные.
2) Все корни характеристического уравнения (3) различны, но среди них имеется комплексный корень 
тогда 
тоже будет корнем этого уравнения. Этой паре корней соответствует пара линейно независимых решений:
Записав линейно независимые решения ЛОДУ (2), соответствующие всем корням уравнения (3), получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными даст общее решение уравнения (2).
3) Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Пусть 
действительный 
кратный корень. Тогда ему соответствует 
линейно независимых решений вида: 
а в формуле общего решения будут слагаемые вида 
4) Если 
комплексный корень характеристического уравнения (3) кратности , то ему и сопряженному с ним корню той же кратности соответствуют 
линейно независимых решений вида:
Записав линейно независимые решения ЛОДУ (2), соответствующие всем простым и кратным корням уравнения (3), получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными даст общее решение уравнения (2).
3. ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами
Для получения частного решения 
ЛНДУ (1) используют два метода.
1) Метод вариации произвольных постоянных
Пусть дано уравнение (1):
и общее решение соответствующего ЛОДУ (2):
Функцию ищем в виде:
Для нахождения 
составим систему уравнений:
И решая ее, получим 
а затем, интегрируя, находим 
Следовательно, частным решением ЛНДУ будет функция:
Значит, общим решением ЛНДУ является:
где произвольные постоянные.
2) Метод неопределенных коэффициентов
а) Пусть 
где 
действительное число, 
многочлен 
ой степени 
,
Тогда 
где 
многочлен степени с неопределенными коэффициентами, число 
равно кратности числа 
как корня характеристического уравнения (3).
б) Пусть 
где 
действительные числа, 
– многочлены степени 
соответственно.
Тогда 
где 
многочлены степени 
с неопределенными коэффициентами, равно кратности числа 
как корня характеристического уравнения (3).
Замечание 1. Коэффициенты многочленов 
находят методом неопределенных коэффициентов.
Замечание 2. Если в уравнении (1) функция 
равна сумме нескольких функций 
то его частное решение строится так: 
где 
частное решение ЛНДУ с правой частью, равной 
.
Примеры с решениями
Пример 1. Решить уравнение:
Решение. Это ЛОДУ четвертого порядка. Его характеристическое уравнение имеет вид:
Уравнение является биквадратным. Выполним замену: 
Следовательно, корнями характеристического уравнения являются числа:
действительные и различные.
Значит, функции 
составляют фундаментальную систему решений данного уравнения. Поэтому общее решение можно записать в виде:
где 
произвольные постоянные.
Ответ: 
Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Это ЛОДУ третьего порядка. Его характеристическое уравнение имеет вид:
Решим его:
Следовательно, корнями характеристического уравнения являются числа:
кратности 2.
Значит, функции 
составляют фундаментальную систему решений данного уравнения. Поэтому общее решение можно записать в виде:
где 
произвольные постоянные.
Ответ: 
Пример 3. Решить уравнение:
Решение. Это ЛОДУ третьего порядка. Его характеристическое уравнение имеет вид:
Для решения этого уравнения выполним разложение его левой части на множители:
Следовательно, корнями характеристического уравнения являются числа:
Значит, функции 
составляют фундаментальную систему решений данного уравнения. Поэтому общее решение можно записать в виде:
где произвольные постоянные.
Ответ: 
Пример 4. Решить задачу Коши:
Решение. Это ЛОДУ третьего порядка. Его характеристическое уравнение имеет вид:
Следовательно, корнями характеристического уравнения являются числа:
Значит, функции 
составляют фундаментальную систему решений данного уравнения. Поэтому общее решение можно записать в виде:
где произвольные постоянные.
Теперь найдем значения 
такими, чтобы полученное при этих значениях из общего решения частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям:
Получим предварительно 
из общего решения:
Составим систему уравнений относительно , подставляя в 
значения: 
Следовательно, частное решение данного ЛОДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям, задается функцией:
Ответ: 
Пример 5. Решить уравнение:
Решение. Это ЛНДУ третьего порядка.
1) Решим соответствующее ЛОДУ:
Его характеристическое уравнение имеет вид:
Следовательно, корнями характеристического уравнения являются числа:
Значит, функции 
составляют фундаментальную систему решений ЛОДУ. Поэтому общее решение ЛОДУ можно записать в виде:
где произвольные постоянные.
2) Найдем частное решение данного ЛНДУ. Правая часть 
Поэтому частное решение ищем в виде:
Подставим 
в данное уравнение вместо 
Отсюда следует, что 
3) Запишем общее решение данного ЛНДУ:
Ответ: 
Примеры
Решить уравнения и задачи Коши
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
Ответы
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 