Системы массового обслуживания с отказами
Одноканальная СМО с отказами
Простейшей из всех задач теории массового обслуживания является модель одноканальной СМО с отказами (потерями).
При этом система массового обслуживания состоит только из одного канала (n = 1) и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью 
, зависящей, в общем случае, от времени:
Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени 
,
Из этого следует, что «поток обслуживания» — простейший, с интенсивностью 
Чтобы представить себе этот поток, вообразим один непрерывно занятый канал, который будет выдавать обслуженные заявки потоком с интенсивностью 
Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S, которая может находиться в одном из двух состояний: 
— свободен, 
— занят.
ГСП системы показан на рис. 5.6, а.
Рис. 5.6. ГСП для одноканальной СМО с отказами (а); график решения уравнения (5.38) (б)
Из состояния 
в 
систему, очевидно, переводит поток заявок с интенсивностью 
; из 
в 
— «поток обслуживания» с интенсивностью 
.
Вероятности состояний: 
и 
. Очевидно, для любого момента t:
= 1. (5.36)
Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний согласно правилу, данному выше:
(5.37) эрланг
Из двух уравнений (5.37) одно является лишним, так как 
и 
связаны соотношением (5.36). Учитывая это, отбросим второе уравнение, а в первое подставим вместо 
выражение 
:
или
(5.38)
Поскольку в начальный момент канал свободен, уравнение следует решать при начальных условиях: 
= 1, 
=0.
Линейное дифференциальное уравнение (5.38) с одной неизвестной функцией 
легко может быть решено не только для простейшего потока заявок 
, но и для случая, когда интенсивность этого потока со временем меняется.
Для первого случая решение есть:
Зависимость величины 
от времени имеет вид, изображенный на рис. 5.6, б. В начальный момент (при t = 0) канал заведомо свободен ( 
(0) = 1). С увеличением t вероятность 
уменьшается и в пределе (при 
) равна 
. Величина, 
дополняющая 
до единицы, изменяется так, как показано на том же рисунке.
10. Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность 
есть не что иное, как относительная пропускная способность q. Действительно, 
есть вероятность того, что в момент t канал свободен, или вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. Следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно 
В пределе, при 
, когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение относительной пропускной способности будет равно:
Зная относительную пропускную способность q, легко найти абсолютную А. Они связаны очевидным соотношением:
В пределе, при 
, абсолютная пропускная способность тоже установится и будет равна
Зная относительную пропускную способность системы q (вероятность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена), легко найти вероятность отказа:
или среднюю часть необслуженных заявок среди поданных. При 
