Система массового обслуживания с ожиданием
Система массового обслуживания называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.
Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.
Здесь мы остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.
Рассмотрим смешанную систему массового обслуживания с
каналами при следующих условиях. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью
. Время обслуживания одной заявки
- показательное, с параметром
. Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым сроком
; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания
будем считать случайным и распределенным по показательному закону
,
где параметр - величина, обратная среднему сроку ожидания:
;
.
Параметр полностью аналогичен параметрам
и
потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания
, после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность
.
Очевидно, при система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при
она превращается в чистую систему с ожиданием.
Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.
Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Напишем уравнения для вероятностей состояний системы. Для этого, прежде всего, перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Возможные состояния системы будут:
- ни один канал не занят (очереди нет),
- занят ровно один канал (очереди нет),
………
- занято ровно
каналов (очереди нет),
………
- заняты все
каналов (очереди нет),
- заняты все
каналов, одна заявка стоит в очереди,
………
- заняты все
каналов,
заявок стоят в очереди,
………
Число заявок , стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система
имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, число описывающих ее дифференциальных уравнений тоже будет бесконечным.
Очевидно, первые дифференциальных уравнений ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга:
Отличие новых уравнений от уравнений Эрланга начнется при . Действительно, в состояние
система с отказами может перейти только из состояния
; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние
не только из
, но и из
(все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).
Составим дифференциальное уравнение для . Зафиксируем момент
и найдем
- вероятность того, что система в момент
будет в состоянии
. Это может осуществиться тремя способами:
1) в момент система уже была в состоянии
, а за время
не вышла из него (не пришла ни одна заявка и ни один из каналов не освободился);
2) в момент система была в состоянии
, а за время
перешла в состояние
(пришла одна заявка);
3) в момент система была в состоянии
(все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди), а за время
перешла в
(либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока).
Имеем:
,
откуда
.
Вычислим теперь при любом
- вероятность того, что в момент
все
каналов будут заняты и ровно
заявок будут стоять в очереди. Это событие снова может осуществиться тремя способами:
1) в момент система уже была в состоянии
, а за время
это состояние не изменилось (значит, ни одна заявка не пришла, ни один капал не освободился и ни одна из
стоящих в очереди заявок не ушла);
2) в момент система была в состоянии
, а за время
перешла в состояние
(т. е. пришла одна заявка);
3) в момент система была в состоянии
, а за время
перешла в состояние
(для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из
стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока).
Следовательно:
,
откуда
.
Таким образом, мы получили для вероятностей состояний систему бесконечного числа дифференциальных уравнений:
(19.10.1)
Уравнения (19.10.1) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с ограниченным временем ожидания. Параметры в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (19.10.1) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности
при возрастании
становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.
15. Выведем формулы, аналогичные формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы при установившемся режиме обслуживания (при ). Из уравнений (19.10.1), полагая все
постоянными, а все производные - равными нулю, получим систему алгебраических уравнений:
(19.10.2)
К ним нужно присоединить условие:
. (19.10.3)
Найдем решение системы (19.10.2).
Для этого применим тот же прием, которым мы пользовались в случае системы с отказами: разрешим первое уравнение относительно подставим во второе, и т. д. Для любого
, как и в случае системы с отказами, получим:
. (19.10.4)
Перейдем к уравнениям для
. Тем же способом получим:
,
,
и вообще при любом
. (19.10.5)
В обе формулы (19.10.4) и (19.10.5) в качестве сомножителя входит вероятность . Определим ее из условия (19.10.3). Подставляя в него выражения (19.10.4) и (19.10.5) для
и
, получим:
,
откуда
. (19.10.6)
Преобразуем выражения (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6), вводя в них вместо плотностей и
«приведенные» плотности:
(19.10.7)
Параметры и
выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки.
В новых обозначениях формулы (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6) примут вид:
; (19.10.8)
; (19.10.9)
. (19.10.10)
Подставляя (19.10.10) в (19.10.8) и (19.10.9), получим окончательные выражения для вероятностей состояний системы:
; (19.10.11)
. (19.10.12)
Зная вероятности всех состояний системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в частности, вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной.
15. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок уходящих из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое ожидание
числа заявок, находящихся в очереди:
. (19.10.13)
Чтобы получить , нужно
умножить на среднюю «плотность уходов» одной заявки
и разделить на среднюю плотность заявок
, т. е. умножить на коэффициент
.
Получим:
. (19.10.14)
Относительная пропускная способность системы характеризуется вероятностью того, что заявка, попавшая в систему, будет обслужена:
.
Очевидно, что пропускная способность системы с ожиданием, при тех же и
, будет всегда выше, чем пропускная способность системы с отказами: в случае наличия ожидания необслуженными уходят не все заявки, заставшие
каналов занятыми, а только некоторые. Пропускная способность увеличивается при увеличении среднего времени ожидания
.
Непосредственное пользование формулами (19.10.11), (19.10.12) и (19.10.14) несколько затруднено тем, что в них входят бесконечные суммы. Однако члены этих сумм быстро убывают.
Посмотрим, во что превратятся формулы (19.10.11) и (19.10.12) при и
. Очевидно, что при
система с ожиданием должна превратиться в систему с отказами (заявка мгновенно уходит из очереди). Действительно, при
формулы (19.10.12) дадут нули, а формулы (19.10.11) превратятся в формулы Эрланга для системы с отказами.
Рассмотрим другой крайний случай: чистую систему с ожиданием . В такой системе заявки вообще не уходят из очереди, и поэтому
: каждая заявка рано или поздно дождется обслуживания. Зато в чистой системе с ожиданием не всегда имеется предельный стационарный режим при
. Можно доказать, что такой режим существует только при
, т. е. когда среднее число заявок, приходящееся на время обслуживания одной заявки, не выходит за пределы возможностей
-канальной системы. Если же
, число заявок, стоящих в очереди, будет с течением времени неограниченно возрастать.
Предположим, что , и найдем предельные вероятности
для чистой системы с ожиданием. Для этого положим в формулах (19.9.10), (19.9.11) и (19.9.12)
. Получим:
,
или, суммируя прогрессию (что возможно только при ),
. (19.10.15)
Отсюда, пользуясь формулами (19.10.8) и (19.10.9), найдем
, (19.10.16)
и аналогично для
. (19.10.17)
Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется из формулы (19.10.13) при :
. (19.10.18)
16.
Средняя длина очереди (среднее число заявок, находящихся в очереди):
или Lоч