Свойства (умножения матрицы на число)
Матрицы
1о. Основные определения.
Определение 1. Матрицей размеров 
над множеством действительных чисел R называется прямоугольная таблица из 
вещественных чисел, имеющая 
строк и 
столбцов:
,
где 
R, 
– номер строки, 
– номер столбца, 
− элементы матрицы, и − порядки матрицы. В этом случае говорят, что рассматриваемая матрица размера . Если 
, то матрица называется квадратной, а число – её порядком.
Для изображения матрицы применяются либо круглые скобки, либо сдвоенные прямые:
или 
.
Для краткого обозначения матрицы используются либо заглавные латинские буквы 
; либо символы 
, 
, указывающее обозначение элементов матрицы; либо используется запись 
.
Множество всех матриц размера обозначается R 
R 
.
Частные случаи матриц.
1. Если , то матрица называется квадратной. Её диагональ 
называется главной диагональю, а 
– побочной диагональю.
2. Диагональная матрица – это матрица, у которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали, т.е. 
.
3. Диагональная матрица вида 
называется скалярной.
4. Скалярная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной. Обозначается 
или 
, где – ее порядок.
5. Матрица размера , у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается 
.
6. Если 
, то матрица называется строчной, или матрица-строка, или строка. Если 
столбцовая = матрица-столбец = столбец.
Определение 2. Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.
2о. Операции над матрицами и их свойства.
Определение 3. Суммой матриц 
и 
R (т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица 
R : 
.
Обозначение: 
.
Пример.
.
Свойства (сложения матриц).
1) Коммутативность сложения, т.е., 
R справедливо 
.
2) Ассоциативность сложения, т.е., 
R справедливо 
.
3) 
R 
.
4) R 
! R 
. При этом, если 
, то 
. Матрица 
называется противоположной к и обозначается 
.
Доказательство свойств провести самостоятельно прямыми вычислениями.
Определение 4. Произведением элемента 
R на матрицу 
R называется матрица R 
Обозначение: 
.
Операция, сопоставляющая 
и их произведение 
называется умножением числа на матрицу.
Свойства (умножения матрицы на число).
R, 
R выполняется
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
.
Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.
Замечание. Разность 
двух прямоугольных матриц и R определяется равенством 
.
Определение 5.Произведением матриц размера и 
размера 
называется матрица 
размеров 
такая, что каждый элемент 
.
Обозначение: 
.
Операция произведения на называется умножением этих матриц.
Из определения следует, что элемент матрицы 
, стоящий в 
–ой строке и 
–ом столбце, равен сумме произведений элементов –ой строки матрицы на –ый столбец матрицы .
Примеры.
1) 
,
2) 
.
Таким образом, две матрицы можно перемножать, если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Тогда матрица называется согласованной с . Из согласованности с не следует согласованность с . Если даже условие согласования выполняется, то в общем случае 
.