Перестановки. Знак перестановки
1о. Перестановки, умножение перестановок.
Пусть − произвольное множество из
элементов; например,
Определение 1.Перестановкой степениназываетсявзаимнооднозначное отображение множества
в
.
Множество всех перестановок степени обозначается
. Каждую перестановку будем в дальнейшем обозначать строчной буквой греческого алфавита:
Перестановка изображается двурядным символом (или, другими словами, матрицей размера
):
. (1)
Такой символ обозначает отображение
Замечание. Порядок столбцов в обозначении (1) перестановки не является существенным. А именно, ту же перестановку можно записать в виде
.
Утверждение 1.Число различных перестановок степени равно
Доказательство. В качестве первого элемента можно выбрать любой из
элементов, в качестве второго − любой из оставшихся
элементов, и т.д. Всего различных возможностей выбора
Таким образом,
■
Определение 2.Произведением перестановок называетсяперестановка, обозначаемая
, такая, что
Например, если
то
Свойства (умножения перестановок)
1) Ассоциативность умножения, т.е. справедливо
Доказательство. По определению 2, Аналогично,
что и требовалось доказать.
2) Если – тождественная перестановка, то
выполняется
3) Для любой
такая, что
Такая перестановка
называется обратной к
и обозначается
Доказательство. Если
,
то
Упражнение. Доказать единственность обратной перестановки.
2 о. Знак перестановки.
Определение 3. Пусть – перестановка степени
и пусть
. Тогда пара
называется инверсией относительно
, если
.
Перестановка называется четной, если число инверсий относительно
четное, и перестановка называется нечетной, если число инверсий − нечетное.
Знак перестановки – это
, где
– число инверсий.
Обозначение: .
Таким образом, если – четная, то
, и если
– нечетная, то
.
Пример. . Возможные пары
. Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом,
, т.е.
– четная.
Теорема 1.
1. Знак единичной перестановки равен 1.
2. Если .
3. .
Доказательство.
1. В единичной перестановке инверсий нет; поэтому .
2. Пусть – множество инверсий относительно
, а
– множество инверсий относительно
.
Легко видеть, что если , то
. Следовательно, между множествами
устанавливается взаимнооднозначное соответствие
.
3. Пусть – множество инверсий относительно
,
– множество инверсий относительно
,
– множество инверсий относительно
:
.
Тогда надо доказать, что , т.е.
. Таким образом, надо показать, что |A|+|B|+|C| – четное число.
Пусть ,
,
,
.
Введем следующее обозначение: пусть - это множество пар
. Тогда справедлива следующая множественная схема:
Между множествами
существует взаимнооднозначное соответствие
:
.
Поэтому из картинки видно , т.е. четное число. ▄
Следствие. .
2о. Транспозиция как пример нечетной перестановки. Разложение перестановки в произведение транспозиций.
Определение 4. Перестановку вида , где точками обозначены элементы, остающиеся на своих местах, называют транспозицией (или
-перестановкой).
Теорема 2. Транспозиция является нечетной перестановкой.
Доказательство. Вычислим число инверсий. Инверсиями являются пары , где
; пары
, где
; и пара
. Их всего будет
, т.е. нечетное число. ▄
Замечание. Для вычисления произведения и транспозиции
вида
необходимо в нижней строке
поменять местами
и
.
Упражнение. Как вычисляется произведение ?
Замечание. , т.е. эти транспозиции совпадают.
Теорема 3. Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций.
Доказательство. Пусть . Покажем, что нижняя строка
может быть получена из строки
за конечное число шагов, каждый из которых состоит в том, что два числа меняются местами.
Пример.
т.е.
.
Аналогично в общем случае.
Пусть на r-ом шаге поменяются местами . Тогда ввиду замечания
. ▄
Упражнение. Показать, что каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций вида .
Очевидно, что любая перестановка может быть представлена в виде произведения транспозиций различными способами.
Пример.
.
Теорема 4.При всех разложениях перестановки в произведения транспозиций, четность числа транспозиций одна и та же; она совпадает с четностью перестановки.
Доказательство.Пусть , где
– транспозиция. Тогда знак
равен знаку произведения транспозиций
– четно, если
– четно. ▄