Нахождение области сходимости степенного ряда
Определение.Степенной ряд - это функциональный ряд вида
, (2.1) где
- постоянные, называемые коэффициентами степенного ряда.
Теорема Абеля.Если степенной ряд сходится в некоторой точке
, то он сходится абсолютно для всех x, таких, что
. Если степенной ряд расходится в точке
, то он расходится при любом x, для которого
.
Следствие.Каждому степенному ряду соответствует действительное число
, или символ + ∞, называемое радиусом сходимости. При этом внутри интервала
степенной ряд сходится абсолютно, вне данного интервала ряд расходится, поведение в граничных точках каждый раз требует отдельного исследования.
Если R=+ ∞, то степенной ряд сходится абсолютно на всей числовой оси. Радиус сходимости числового ряда связан с его коэффициентами формулами Коши-Адамара: , или
. Данные формулы получаются непосредственно в результате применения к ряду
достаточных признаков сходимости Коши - радикального или Даламбера.
План нахождения области сходимости степенного ряда.
При конкретном значении x числовой ряд, получающийся из степенного, может оказаться знакопеременным. Учитывая это, исследуем ряд, как числовой, считая x фиксированным, сначала на абсолютную сходимость.
1. Применим к ряду из модулей достаточный признак Даламбера или Коши – радикальный (проверку необходимого признака можно пропустить):
,
или: .
2. Решая это неравенство, определим интервал абсолютной сходимости , или,
.
Вне полученного интервала не выполняется необходимый признак сходимости, следовательно, здесь ряд расходится.
3. Чтобы выяснить поведение ряда в граничных точках, подставим в исходный ряд по очереди значения ,
и исследуем получившиеся числовые ряды.
В следующих примерах найти области сходимости рядов:
Пример 2.1. .
1. Составим ряд из модулей:
и применим к нему признак Коши – радикальный:
.
Так как для сходимости по признаку Коши необходимо выполнение неравенства , требуем:
.
Откуда получаем:
.
Итак, - интервал абсолютной сходимости ряда.
Выясним поведение ряда в граничных точках интервала сходимости.
2. Подставляем в исходный ряд:
Получили знакоположительный ряд. Проверим выполнение необходимого признака сходимости: .
Необходимый признак не выполнен – ряд в точке расходится.
3. Подставляем в исходный ряд:
.
Получили знакочередующийся ряд. Так как
, ряд в точке
тоже расходится.
Ответ: интервал абсолютной сходимости ряда .
Пример 2.2. .
1. Составим ряд из модулей и применим к нему признак Даламбера:
.
Итак, интервал - область абсолютной сходимости степенного ряда.
Исследуем поведение ряда в граничных точках.
2. Подставим в ряд:
.
Получили знакочередующийся ряд. Составим ряд из модулей: . Необходимый признак выполнен:
.
Применим к ряду из модулей интегральный признак:
интеграл расходится,
ряд из модулей расходится. Т. к.
монотонно убывает при увеличении номера n, ряд условно сходится в точке
по признаку Лейбница.
3. Подставим в ряд:
.
Получили знакоположительный расходящийся ряд (см. пункт 2).
Ответ: область сходимости ряда. Интервал
- область абсолютной сходимости, в точке
ряд сходится условно.
Пример 2.3. .
1. Составим ряд из модулей и применим к нему признак Коши:
.
Область абсолютной сходимости ряда .
Исследуем поведение ряда в граничных точках области сходимости.
2. Подставим в ряд:
.
Получили знакопеременный ряд. Исследуем ряд из модулей: .
Необходимый признак выполнен: .
Далее применим признак сравнения: .
Все члены ряда из модулей не превосходят членов сходящегося ряда Дирихле , следовательно, ряд
сходится абсолютно.
Значит, ряд сходится абсолютно в точке
.
3. Подставим в ряд:
.
В точке степенной ряд сходится абсолютно (см. пункт 2).
Ответ: - область абсолютной сходимости данного ряда.
Пример 2.4.
1. Составим ряд из модулей и исследуем его по признаку Даламбера:
;
;
- область абсолютной сходимости ряда. Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала сходимости. Подставим
в ряд:
- знакочередующийся ряд. Проверить выполнение необходимого признака в данном случае достаточно трудно. Заметим, что
Очевидно, что
, а это значит, что каждый последующий член ряда больше предыдущего, то есть не выполняется необходимый признак сходимости – ряд расходится.
3. В точке получим расходящийся ряд
. Ответ:
- область абсолютной сходимости ряда.