Часть 5. Применение рядов для решения дифференциальных уравнений
1. Метод последовательного дифференцированияприменяется
для нахождения частного решения уравнения 
, при начальных условиях 
, 
,…, 
(5.1),
удовлетворяющего теореме Коши о существовании и единственности решения. Решение ищется в виде ряда Тейлора 
. (5.2)
При этом часть коэффициентов известна из начальных условий, а следующие необходимые производные в точке 
находятся при дифференцировании данного уравнения по 
соответствующее число раз.
Этот метод не даёт возможности исследовать полученный ряд на сходимость. Однако он применим, когда заранее известно, что решение уравнения в виде ряда существует.
Пример 5.1.Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения уравнения 
,при начальных условиях 
, 
.
Решение будем искать в виде ряда (5.2): 
. (5.3)
Подставив в исходное уравнение начальные условия, найдём: 
.
Дифференцируем по заданное уравнение и находим следующие 
: 
, 
, 
Теперь подставим данные значения в (5.3) и получим ответ:
Пример 5.2.Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решения уравнения 
, при начальных условиях 
, 
.
Вид решения: 
(5.4)
Подставим в уравнение начальные условия: 
Дифференцируем данное уравнение и подставляем начальные условия: 
, 
.
Окончательно, подставляя в (5.4) найденные значения 
, получим Ответ: 
2.Метод неопределённых коэффициентовудобен при решении линейных дифференциальных уравнений 
с начальными условиями 
, ,…, 
.
Если коэффициенты уравнения 
и 
разложимы в степенные ряды по степеням 
, сходящиеся в области 
,то уравнение имеет единственное решение 
в виде ряда 
, сходящегося в той же области.
Для нахождения коэффициентов 
необходимо:
1)коэффициенты в уравнении 
и 
заменить их разложениями в ряды;
2)найти последовательно производные функции 
,
где коэффициенты 
пока не определены, и подставить в исходное дифференциальное уравнение полученные разложения;
3) приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
в правой и левой частях данного соотношения получить и решить систему уравнений относительно коэффициентов 
.Если найти конечное число коэффициентов ,то получится приближённое решение.
Пример 5.3.Найти общее решение уравнения 
в окрестности точки 
.
Решение ищем в виде ряда: 
Дифференцируя этот ряд, получим разложения для 
и 
:
Подставим эти выражения для 
, 
и 
в исходное уравнение:
. 
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
в обеих частях равенства, получим систему уравнений для нахождения 
:
Следовательно, 
Подставляем найденные коэффициенты в разложение искомой функции: 
= 
Исходное дифференциальное уравнение – линейное неоднородное второго порядка. Его общее решение должно иметь следующую структуру: 
,
где 
и 
- линейно независимые частные решения соответствующего однородного уравнения – они образуют фундаментальную систему решений, 
- частное решение данного неоднородного уравнения, 
- общее решение соответствующего однородного уравнения.
В полученном решении необходимая структура имеет место.
, 
образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения.
- частное решение неоднородного уравнения.
Учитывая, что в ответе присутствуют разложения известных функций (см.3.9) 
, запишем полученное решение иначе:
Ответ: 
Пример 5.4. Найти частное решение уравнения 
, при начальных условиях: 
, 
.
Вычислить значение частного решения в точке 
с точностью до δ=0,001.
1. Представим решение в виде ряда 
.
, 
(см. пример 5.3).
Разложив в ряд Маклорена cosx и sinx, получим после подстановки в уравнение следующее соотношение:
Подставляя начальные условия в разложения 
и 
, находим: 
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, получаем систему для нахождения остальных коэффициентов:
,
,
.
Просматривается закономерность: 
, 
, n=0,1,2,…
Проверим её, вычислив 
и 
:
.
Такие же 
и получаются, если в выражения 
и 
вместо n подставить n+1. Т.е. коэффициенты найдены верно.
Искомое частное решение: 
. Преобразуем его:
= 
.
«Сместим» индекс суммирования первого ряда n→n+1:
.
Получили разложения известных функций (см. 3.4, 3.5).Перепишем решение иначе: 
.
2. Чтобы вычислить приближённо значение полученного частного решения в точке , подставим 
в наш ряд: 
.
Этот знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, поэтому, если заменить сумму S ряда частичной суммой 
, то остаток ряда 
< 
. Найдём несколько слагаемых: 
, 
, 
, 
. 
. Погрешность 
. Ответ: , 
.
Контрольное задание.
1. Применяя метод последовательного дифференцирования, найти n первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.
a) 
; b) 
.
Ответ:a) 
b) 
.
2. Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
a) 
; b) 
Ответ: a) 
; b) 
.
Содержание задания «Степенные ряды».
Задача 1.Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах этого интервала.
Задача 2. Пользуясь известными формулами разложения в степенной ряд функций 
, разложить данную функцию f(x) в ряд по степеням (x-a) и определить интервал сходимости полученного ряда.
Задача3. Разлагая подынтегральную функцию в ряд, вычислить приближённое значение данного определённого интеграла с погрешностью δ, не превышающей 0,001.
Задача 4. Найти первые 4-5 членов разложения в ряд Тейлора частного
решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.
Задача 5. Найти решение данного линейного дифференциального неоднородного уравнения второго порядка в виде ряда по степеням x (методом неопределённых коэффициентов). Исследовать структуру полученного общего решения, выделив в нём общее решение соответствующего однородного уравнения, его фундаментальную систему решений и частное решение неоднородного уравнения. Найти частное решение 
,удовлетворяющее начальным условиям 
, вычислить значение этого частного решения в точке 
( 
) с точностью до 0,01.
Таблица 1.
| N | Задача 1 | Задача 2 | Задача 3 | ||
| f(x) | a | ||||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| -2 | 
| ||
| 
| 
| |||
| 
| -1 | 
| ||
| 
| 
| |||
| 
| 
| 
| ||
| 
| -3 | 
| ||
| 
| 
| |||
| 
| -2 | 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| |||
| 
| -1 | 
| ||
| 
| 
| |||
| 
| -1 | 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| -1 | 
| ||
| 
| -8 | 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| -2 | 
| ||
| 
| - 
| 
| ||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| -1 | 
| ||
| 
| 
| |||
| 
| -2 | 
| ||
| 
| π | 
| ||
Таблица 2.
| N | Задача 4 | Задача 5 | |||
| Уравнение | Н. усл. | Уравнение | Н.У. | 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| -1 | |
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
9 
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
|
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| -1 | |
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
|
| ||
| 
| 
|
| ||
|
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
|
| 
|
| -1 | |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
|
| ||
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
|
Литература.
1.Е.А. Власова. Ряды. Учебник для ВУЗов / под ред. В.С.Зарубина, А.П. Крищенко. – М. Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000,-612 с./.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М., Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М. «Наука». 1985, 448с..
3. Осипова М.З. «Ряды и их приложения», М., Ротапринт МВТУ,1973.
Оглавление.
Часть 1. Функциональные ряды. 4
Часть 2. Степенные ряды. 7
Часть 3. Разложение функций в степенные ряды. 16
Часть 4. Приближённые вычисления интегралов с помощью рядов. 28
Часть 5. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов. 32
Содержание задания «Степенные ряды». 40
Литература. 47.