Оценка адекватности тренда и прогнозирование
Для найденного уравнения тренда необходимо провести оценку его надежности (адекватности), что осуществляется обычно с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение Fр с теоретическим (табличным) значением FТ (Приложение 4). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле (102):
, (102)
где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда.
Для проверки правильности расчета сумм в формуле (102) можно использовать следующее равенство (103):
. (103)
В нашем примере про ВО равенство (103) соблюдается (необходимые суммы рассчитаны в трех последних столбцах табл. 31): 89410,434 = 9652,171 + 79758,263.
Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется при заданном уровне значимости[32]с учетом степеней свободы: и
. При условии Fр > FТ считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.
Проверим тренд на адекватность в нашем примере про ВО по формуле (102):
FР = 79758,263*5/(9652,171*1) = 41,32 > FТ, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (FТ = 6,61 находим по Приложению 4 в 1-ом столбце [ = k – 1 = 2 – 1 = 1] и 5-й строке [
= n – k = 5]).
Как уже было отмечено ранее, в нашем примере про ВО России можно произвести выравнивание не только по прямой линии, но и по параболе, чего делать не будем, так как уже найденный линейный тренд адекватно описывает тенденцию[33].
При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (104):
, (104)
где – точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда;
– коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости
и числе степеней свободы
=n–1 (Приложение 2)[34];
– ошибка аппроксимации, определяемая по формуле (105):
. (105)
Спрогнозируем ВО России на 2007 и 2008 годы с вероятностью 0,95 (значимостью 0,05), для чего найдем ошибку аппроксимации по формуле (105): =
= 43,937 и найдем коэффициент доверия по распределению Стьюдента по Приложению 2:
= 2,4469 при
= 7 – 1= 6.
Прогноз на 2007 и 2008 годы с вероятностью 0,95 по формуле (104):
Y2007 = (257,671+53,371*4) 2,4469*43,937 или 363,6<Y2007<578,7 (млрд. долл.);
Y2008 = (257,671+53,371*5) 2,4469*43,937 или 417,0<Y2008<632,0 (млрд. долл.).
Как видно из полученных прогнозов, доверительный интервал достаточно широк (из-за достаточно большой величины ошибки аппроксимации). Более точный прогноз можно получить при выравнивании по параболе 2-го порядка[35].
Анализ сезонных колебаний
В рядах динамики, уровни которых являются месячными или квартальными показателями, наряду со случайными колебаниями часто наблюдаются сезонные колебания, под которыми понимаются периодически повторяющиеся из года в год повышение и снижение уровней в отдельные месяцы или кварталы.
Сезонным колебаниям подвержены внутригодовые уровни многих показателей. Например, расход электроэнергии в летние месяцы значительно меньше, чем в зимние; или рыночные цены на овощи в отдельные месяцы далеко не одинаковы.
При графическом изображении таких рядов сезонные колебания проявляются в повышении и снижении уровней в определенные месяцы (кварталы). В качестве иллюстрации рядов с сезонными колебаниями могут служить данные, представленные в табл. 32 и их графическое изображение (рис. 15).
Таблица 32. Динамика производства мороженого предприятием по месяцам, тонн
Номер строки | Год | Месяц t | |||||||||||
январь | февраль | март | апрель | май | июнь | июль | август | сентябрь | октябрь | ноябрь | декабрь | ||
Итого | |||||||||||||
![]() | 33,333 | 38,000 | 43,667 | 54,333 | 55,333 | 69,000 | 64,667 | 52,000 | 42,333 | 36,000 | 33,333 | 31,333 | |
![]() | 0,723 | 0,824 | 0,947 | 1,178 | 1,200 | 1,496 | 1,402 | 1,128 | 0,918 | 0,781 | 0,723 | 0,680 |
Рис. 15. Динамика производства мороженого предприятием по месяцам, тонн
Вместо месячных показателей могут быть квартальные. Если колебания не случайны, то они сохраняются и в квартальных уровнях, как это показано в табл. 33 и на рис. 16, где месячные данные из табл. 32 преобразованы в квартальные.
Таблица 33. Динамика производства мороженого предприятием по кварталам, тонн
Год | Кварталы | Итого | |||
Итого |
Рис. 16. Динамика производства мороженого предприятием по кварталам, тонн
Наблюдение за сезонными колебаниями позволяет устранить их там, где они нежелательны, а также решить ряд практических задач, например, определить потребности в сырье, рабочей силе в тех отраслях, где влияние сезонности велико.
При изучении рядов динамики, содержащих «сезонную волну», ее выделяют из общей колеблемости уровней и измеряют. Существует 2 основных метода для решения этой задачи: расчет индексов сезонности и гармонический анализ.
Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в определенный момент или интервал времени t больше среднего уровня, либо уровня, вычисляемого по уравнению тренда ( ). Способы расчета индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия тренда. Если тренда нет или от незначителен, то для каждого месяца (квартала) индекс сезонности определяется по формуле (106):
, (106)
где Yt – уровень ряда динамики за месяц (квартал) t;
– средний уровень всего ряда динамики.
Индексы сезонности желательно рассчитывать для рядов динамики, длиной в несколько лет, тогда формула индекса сезонности примет следующий вид:
, (107)
где – средний уровень ряда динамики по одноименным месяцам t за T лет.
Например, по данным таблицы 32, представляющим ряд динамики за 3 года, индексы сезонности будем рассчитывать по формуле (107), для чего сначала рассчитаем (4-я строка таблицы 32), а затем, разделив полученные значение на T=3, получим средние уровни за каждый месяц
(5-я строка таблицы 32). Средний уровень всего ряда определяем по формуле средней арифметической простой:
. В 6-й строке таблицы 32 определены индексы сезонности для каждого месяца по формуле (107), то есть делением значений в 5-й строке на 46,111.
При наличии тренда индексы сезонности определяются определяются аналогично по формулам (106) – (107) с учетом замены на выравненные по уравнению тренда уровни
. На основе найденных индексов сезонности и тренда можно спрогнозировать (экстраполировать) ряд динамики по формуле:
. (108)
Особое место при анализе сезонных колебаний занимает гармонический анализ сезонных колебаний, в котором осуществляется выравнивание ряда динамики с помощью ряда Фурье, уровни которого можно выразить как функцию времени следующим уравнением:
. (109)
То есть сезонные колебания уровней динамического ряда можно представить в виде синусоидальных колебаний. Поскольку последние представляют собой гармонические колебания, то синусоиды, полученные при выравнивании по ряду Фурье, называют гармониками различных порядков (показатель k в этом уравнении определяет число гармоник). Обычно при выравнивании по ряду Фурье рассчитывают несколько гармоник (чаще не более 4) и затем уже определяют, с каким числом гармоник ряд Фурье наилучшим образом отражает изменения уровней ряда.
При выравнивании по ряду Фурье периодические колебания уровней динамического ряда представлены в виде суммы нескольких синусоид (гармоник), наложенных друг на друга.
Так, при k=1 ряд Фурье будет иметь вид
, (110)
а при k=2, соответственно,
(111)
и так далее.
Параметры уравнения теоретических уровней, определяемого рядом Фурье, находят, как и в других случаях, методом наименьших квадратов. Приведем без вывода формулы[36], используемые для исчисления параметров ряда Фурье:
;
;
. (112)
Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением (приростом), равным , где n – число уровней эмпирического ряда.
Например, при n=10 временнЫе точки t можно записать следующим образом:
,
или (после сокращения):
;
;
;
;
;
;
;
;
.
При n=12 значения t приведены в первой строке таблицы 34, а во второй и третьей строках определены значения sinkt и coskt для первой гармоники.
Таблица 34. Значения sinkt и coskt для первой гармоники 12-ти уровнего ряда динамики
t | p/6 | p/3 | p/2 | 2p/3 | 5p/6 | p | 7p/6 | 4p/3 | 3p/2 | 5p/3 | 11p/6 | |
cost | ![]() | ![]() | – ![]() | – ![]() | –1 | – ![]() | – ![]() | ![]() | ![]() | |||
sint | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | – ![]() | – ![]() | –1 | – ![]() | – ![]() |
В таблице 35 приведены исходные данные (графы 1 и 2) и расчет показателей, необходимых для получения уравнений первой гармоники (k=1) по формуле (112).
Таблица 35. Вспомогательные расчеты параметров ряда Фурье
Год | Месяц (t) | Итого | ||||||||||||
январь (0) | февраль (p/6) | март (p/3) | апрель (p/2) | май (2p/3) | июнь (5p/6) | июль (p) | август (7p/6) | сентябрь (4p/3) | октябрь (3p/2) | ноябрь (5p/3) | декабрь (11p/6) | |||
y | ||||||||||||||
ycost | 30,31 | 22,5 | -29 | -55,4 | -69 | -45 | -21 | -0 | 16,5 | 26,85 | ||||
ysint | 17,5 | 38,97 | 50,23 | -26 | -36,4 | -35 | -28,6 | -15,5 | ||||||
![]() | 31,71 | 37,84 | 46,18 | 54,51 | 60,58 | 62,78 | 60,51 | 54,39 | 46,04 | 37,72 | 31,64 | 29,44 | ||
y | ||||||||||||||
ycost | 34,64 | -23 | -60,6 | -60 | -41,6 | -23 | -0 | 30,31 | ||||||
ysint | 38,11 | 39,84 | -24 | -39,8 | -38 | -31,2 | -17,5 | |||||||
![]() | 31,71 | 37,84 | 46,18 | 54,51 | 60,58 | 62,78 | 60,51 | 54,39 | 46,04 | 37,72 | 31,64 | 29,44 | ||
y | ||||||||||||||
ycost | 33,77 | -31 | -63,2 | -65 | -48,5 | -19,5 | -0 | 15,5 | 24,25 | -259,234 | ||||
ysint | 19,5 | 36,37 | 53,69 | 36,5 | -28 | -33,8 | -35 | -26,8 | -14 | 151,122 | ||||
![]() | 31,71 | 37,84 | 46,18 | 54,51 | 60,58 | 62,78 | 60,51 | 54,39 | 46,04 | 37,72 | 31,64 | 29,44 |
Искомое уравнение первой гармоники имеет вид: = 46,111–14,402cost + 8,396sint, подстановкой в которое значений t в последней строке табл.35 получены теоретические значения объема производства мороженого
по месяцам, а на рис.17 приведено графическое изображение, из которого видно, что различия эмпирических и теоретических уровней незначительны.
Рис. 17. Динамика производства мороженого предприятием, тонн
Аналогично рассчитываются параметры уравнения с применением второй, третьей и т.д. гармоник[37], а затем выбирается наиболее адекватное уравнение, то есть с минимальной ошибкой аппроксимации.
На основе подобранного уравнения по ряду Фурье можно прогнозировать (экстраполировать) развитие уровней ряда в будущем по формуле (104). Например, определим доверительные интервалы производства мороженого на январь 2007 года с вероятностью 0,95, для чего найдем ошибку аппроксимации по формуле (105): =
= 4,727 и определим коэффициент доверия по нормальному распределению (так как число уровней n>30) по Приложению 1: t = 1,96. Тогда прогноз на январь 2007 года с вероятностью 0,95 по формуле (104): Yянв07 = 31,71
1,99*4,727 или 22,44<Y2007<40,974 (т).
Методические указания
По данным ФСГС сальдо внешней торговли (СВТ) России за период 2000-2006 гг. характеризуется рядом динамики, представленным в табл. 36.
Таблица 36. Сальдо внешней торговли (СВТ) России за период 2000-2006 гг.
Год | |||||||
Млрд. долл. США | 60,1 | 48,1 | 46,3 | 59,9 | 85,8 | 118,3 | 140,7 |
Проанализируем данный ряд динамики: выявим тенденцию и сделаем прогноз на 2007 и 2008 годы с вероятностью 0,95.
Для большей наглядности представим данные табл. 36 на графике – рис. 18.
Рис. 18. Сальдо внешней торговли (СВТ) России за период 2000-2006 гг.
Данные табл. 36 и рис. 18 наглядно иллюстрируют постепенное уменьшение и последующий рост СВТ России за период 2000-2006 гг.. Очевидно, что такую динамику не следует описывать линейной функцией тренда. Попробуем описать эту динамику с помощью тренда по параболе 2-го порядка по формуле (92). Параметры параболы (a0, a1, a2) определим методом МНК, для чего в формуле (99) вместо записываем выражение параболы
. Тогда
. Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении a0, a1, a2 функция трех переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по a0, a1, a2 и приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему трех уравнений с тремя неизвестными.
В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные:
Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений:
(113)
Упростим систему (113), введя условную нумерацию t от середины ряда. Тогда ∑t = 0 и ∑t3 = 0, а система (113) упростится до следующего вида:
(114)
Решая систему (114) [38], находим параметры a0, a1, a2:
(115)
(116)
(117)
Определим по формулам (115) – (117) параметры уравнения параболы для нашего примера про СВТ России, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в табл. 37.
Таблица 37. Вспомогательные расчеты для параболического тренда
Год | y | t | t2 | t4 | yt | yt2 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
60,1 | -3 | -180,3 | 540,9 | 56,614 | 12,150 | 541,5727 | 391,4745 | |||
48,1 | -2 | -96,2 | 192,4 | 49,764 | 2,770 | 907,3177 | 1010,332 | |||
46,3 | -1 | -46,3 | 46,3 | 51,679 | 28,929 | 795,6187 | ||||
59,9 | 0,0 | 0,0 | 62,357 | 6,038 | 307,2558 | 399,4288 | ||||
85,8 | 85,8 | 85,8 | 81,800 | 16,000 | 3,66449 | 34,97878 | ||||
118,3 | 236,6 | 473,2 | 110,007 | 68,771 | 907,2919 | 1475,657 | ||||
140,7 | 422,1 | 1266,3 | 146,979 | 39,420 | 4501,509 | 3698,377 | ||||
Итого | 559,2 | 421,7 | 2604,9 | 559,200 | 174,079 | 7964,23 | 8138,249 |
Из табл. 37 получаем по формулам (115) – (117): a0 = 62,357, a1 = 15,061 и a2 = 4,382. Отсюда искомое уравнение тренда =62,357+15,061t+4,382t2. В 8-м столбце табл. 37 приведены теоретические (трендовые) уровни, рассчитанные по этому уравнению, а в итоге 9-го столбца – остатки по формуле (98). Для иллюстрации построим график эмпирических и трендовых уровней – рис. 19.
Рис. 19. Эмпирические и трендовые уровни СВТ России
Анализируя рис. 19, то есть сравнивая эмпирические и теоретические уровни, отмечаем, что они почти полностью совпадают, значит парабола 2-го порядка – вполне адекватная функция для отражения основной тенденции (тренда) СВТ России за 2000-2006 годы.
Равенство (103) соблюдается (необходимые суммы рассчитаны в трех последних столбцах табл. 37): 8138,249 = 174,079 + 7964,23. Теперь проверим тренд на адекватность по формуле (102): FР = 7964,23*4/(174,079*2) = 91,5 > FТ, значит модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (FТ = 6,94 находим по Приложению 4 в 2-ом столбце [ = k – 1 = 3 – 1 = 2] и 4-й строке [
= n – k = 4]).
Спрогнозируем СВТ России на 2007 и 2008 годы с вероятностью 0,95, для чего найдем ошибку аппроксимации по формуле (105): =
= 6,597 и найдем коэффициент доверия по распределению Стьюдента по Приложению 2:
= 2,4469 при
= 7 – 1= 6.
Прогноз СВТ России на 2007 и 2008 годы с вероятностью 0,95 по формуле (104):
Y2007 = (62,357+15,061*4+4,382*42) 2,4469*6,597 или 176,6<Y2007<208,9 (млрд. долл.);
Y2008 = (62,357+15,061*5+4,382*52) 2,4469*6,597 или 231,1<Y2007<263,4 (млрд. долл.).
Как видно из полученных прогнозов, доверительный интервал достаточно узок, значит получен достаточно точный прогноз СВТ России на 2006 и 2007 годы. Его надежная оценка имеет принципиальное значение для макроэкономического анализа и прогнозирования, поскольку его величина влияет на общую картину платежного баланса. Так, недооценка положительного сальдо означает недооценку отрицательного сальдо потоков капитала, и наоборот. В то же время потоки капитала увязаны с динамикой внутренних сбережений, что имеет принципиально важное значение для анализа инвестиционного потенциала и прогнозирования инвестиционной активности.
Контрольные задания
Проанализировать ряд динамики, приведенный в таблице 38 (по данным ФСГС), сделать прогноз на 2007 год.
Таблица 38. Варианты выполнения контрольного задания