Тема 12. (занятие 15) Система одновременных уравнений
Разберите пример.
Изучается модель вида
где 
– расходы на потребление в период 
,
– совокупный доход в период ,
– инвестиции в период ,
– процентная ставка в период ,
– денежная масса в период ,
– государственные расходы в период ,
– расходы на потребление в период 
,
инвестиции в период 
.
Первое уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция инвестиций, третье уравнение – функция денежного рынка, четвертое уравнение – тождество дохода.
Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.
Модель включает четыре эндогенные переменные 
и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные – 
и и две лаговые переменные – 
и 
).
Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.
Первое уравнение: 
содержит две эндогенные переменные 
и 
и одну предопределенную переменную 
. Таким образом, 
, а 
, т.е. выполняется условие 
. Уравнение сверхидентифицируемо.
Второе уравнение: 
включает две эндогенные переменные 
и и одну экзогенную переменную 
. Выполняется условие 
. Уравнение сверхидентифицируемо.
Третье уравнение: 
включает две эндогенные переменные и и одну экзогенную переменную 
. Выполняется условие 
. Уравнение сверхидентифицируемо.
Четвертое уравнение: 
. Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.
Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| I уравнение | –1 | 
| 
| |||||
| II уравнение | –1 | 
| 
| |||||
| III уравнение | –1 | 
| 
| |||||
| Тождество | –1 |
В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.
Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид
|
| 
| 
|
| 
| |
| II уравнение | –1 | 
| 
| ||
| III уравнение | –1 | 
| |||
| Тождество |
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы 
не равен нулю:
.
Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.
Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид
|
| 
|
| 
| |
| I уравнение | –1 | 
| 
| ||
| III уравнение |
| 
| |||
| Тождество | –1 |
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:
.
Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.
Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид
| 
|
| 
| 
| |
| I уравнение | –1 |
| |||
| II уравнение | –1 | 
| |||
| Тождество |
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:
.
Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.
Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:
