Методы оценки параметров структурной формы модели
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:
1) косвенный метод наименьших квадратов;
2) двухшаговый метод наименьших квадратов;
3) трехшаговый метод наименьших квадратов;
4) метод максимального правдоподобия с полной информацией;
5) метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.
Рассмотрим вкратце сущность каждого из этих методов.
Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы.
1. Структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели.
2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты 
.
3. Коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной модели.
Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).
Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.
Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.
Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК:
- на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной 
- на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.
Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:
1) все уравнения системы сверхидентифицируемы;
2) система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.
Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.
Для примера, рассмотренного в предыдущем параграфе, необходимо применить именно двухшаговый метод наименьших квадратов.
Но можно сделать следующее:
- Если из модели исключить тождество дохода, число эндогенных переменных модели снизится на единицу – переменная 
станет экзогенной. Число предопределенных переменных модели не изменится, т.к. из модели будет исключена эндогенная переменная 
, но ее место займет переменная 
.
- В правых частях функции потребления и функции денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные.
- Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной 
от эндогенной переменной 
(которая зависит только от предопределенных переменных) и предопределенной переменной 
.
- Таким образом, мы получим рекурсивную систему. Ее параметры можно оценивать обычным МНК, и нет необходимости исследования уравнения на идентификацию.
Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов подробно описаны в литературе и рассматриваются как традиционные методы оценки коэффициентов структурной модели. Эти методы достаточно легко реализуемы.
Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (метод наименьшего дисперсионного отношения), разработанный в 1949 г. Т.Андерсоном и Н.Рубиным.
В отличие от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Это делает решение более простым, но трудоемкость вычислений остается достаточно высокой. Несмотря на его значительную популярность, к середине 60-х годов он был практически вытеснен двухшаговым методом наименьших квадратов (ДМНК) в связи с гораздо большей простотой последнего.
Дальнейшим развитием ДМНК является трехшаговый МНК (ТМНК), предложенный в 1962 г. А.Зельнером и Г.Тейлом. Этот метод оценивания пригоден для всех видов уравнений структурной модели. Однако при некоторых ограничениях на параметры более эффективным оказывается ДМНК
Основная литература: [4], [10, ], [11]
Дополнительная литература: [22]
Планы занятий в рамках самостоятельной работы студентов под руководством преподавателя
Тема №1Предмет и метод эконометрики
Задания:
1. Приведите примеры случайных событий в экономике.
2. Дайте определение эконометрики.
3. Перечислите основные этапы эконометрического исследования.
4. Что такое экзогенные и эндогенные переменные, как их можно назвать иначе, какие виды переменных еще используются в эконометрике?
5. Перечислите основные проблемы эконометрики
Форма проведения: устный опрос
Основная литература: [4], [10, ], [11]
Дополнительная литература: [22]
Тема №2Характеристики случайных величин
Решить задачи своего варианта.
Задача 1. (варианты 1 – 20).
X-непрерывная случайная величина задана интегральной функцией (функцией распределения) 
. Найти: а) вероятность попадания случайной величины Х в интервал 
; б) дифференциальную функцию (функцию плотности вероятностей) 
; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х; г) построить графики функций и .
1.  
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
|
15. 
| 16. 
|
17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
|
Задача 2. (варианты 1-20).
Случайные величины X и Y заданы законами распределений. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайных величин X и Y. Составить законы распределений случайных величин Z = X+Y, V=XY. Построить многоугольник распределения вероятностей случайной величины Z. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины W=2X-4Y.
| хi | -1 | yj | ||||||||||||||||||
| pi | 0,2 | 0,2 | 0,6 | qj | 0,4 | 0,6 | ||||||||||||||
| хi | yj | |||||||||||||||||||
| pi | p1 | 0,3 | 0,2 | qj | 0,7 | 0,3 | ||||||||||||||
| хi | yj | |||||||||||||||||||
| pi | 0,1 | 0,5 | p3 | qj | 0,4 | 0,6 | ||||||||||||||
| хi | yj | |||||||||||||||||||
| pi | p1 | 0,1 | 0,8 | qj | 0,4 | 0,6 | ||||||||||||||
| хi | -2 | yj | ||||||||||||||||||
| pi | 0,4 | 0,6 | qj | 0,3 | q2 | 0,3 | ||||||||||||||
| хi | yj | -2 | ||||||||||||||||||
| pi | 0,3 | 0,1 | p3 | qj | 0,3 | 0,7 | ||||||||||||||
| хi | -2 | yj | ||||||||||||||||||
| pi | p1 | 0,5 | 0,2 | qj | 0,5 | 0,5 | ||||||||||||||
| хi | -1 | yj | -3 | |||||||||||||||||
| pi | 0,4 | 0,2 | p3 | qj | 0,4 | 0,6 | ||||||||||||||
| хi | yj | |||||||||||||||||||
| pi | 0,3 | 0,2 | p3 | qj | 0,1 | 0,9 | ||||||||||||||
| хi | -4 | -2 | yj | |||||||||||||||||
| pi | 0,1 | 0,6 | 0,3 | qj | q1 | 0,2 | ||||||||||||||
| хi | -10 | -6 | -1 | yj | -1 | |||||||||||||||
| pi | 0,4 | p2 | 0,2 | qj | 0,2 | 0,8 | ||||||||||||||
| хi | -1 | yj | ||||||||||||||||||
| pi | 0,6 | 0,2 | 0,2 | qj | q1 | 0,2 | ||||||||||||||
| хi | -2 | -1 | yj | |||||||||||||||||
| pi | 0,3 | 0,2 | p3 | qj | 0,2 | 0,8 | ||||||||||||||
| хi | yj | -4 | ||||||||||||||||||
| pi | p1 | 0,1 | 0,6 | qj | 0,3 | 0,7 | ||||||||||||||
| хi | -6 | -2 | -1 | yj | ||||||||||||||||
| pi | 0,2 | p2 | 0,2 | qj | 0,2 | 0,8 | ||||||||||||||
| хi | yj | -1 | ||||||||||||||||||
| pi | 0,4 | p2 | qj | 0,1 | 0,3 | 0,6 | ||||||||||||||
| хi | yj | -2 | -1 | |||||||||||||||||
| pi | 0,4 | p2 | 0,4 | qj | 0,3 | 0,7 | ||||||||||||||
| хi | -10 | yj | ||||||||||||||||||
| pi | 0,3 | 0,4 | 0,3 | qj | 0,8 | q2 | ||||||||||||||
| хi | -2 | yj | -6 | -1 | ||||||||||||||||
| pi | 0,1 | p2 | qj | 0,2 | 0,3 | 0,5 | ||||||||||||||
Упражнения
- Дано случайная величина Х с параметрами X~N (4,1.5).
Найти вероятность попадания в случайной величины Х в интервал (5, 8).
2. Случайная величина x распределена нормально. среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.
3. Случайная величина x задана функцией f(x)=4x в интервале (0,2), вне этого интервала f(x)=0. найти математическое ожидание и дисперсию величины x.
4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
| х | |||
| р | 0,5 | 0,4 | 0,1 |
1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
| х | |||
| р | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
2. Найти дисперсию случайной величины
| х | |||
| р | 0,2 | 0,4 | 0,4 |
8. Случайная величина x задана функцией f(x)=2x2 в интервале (0,1), вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание и дисперсию величины x.
Форма проведения: Решение данных задач студентами самостоятельно на местах и при необходимости у доски.
Основная литература:[6], [5], [11], [12].
Дополнительная литература: [20],[32]
Тема №3Основные статистические распределения
Задача 1
Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено, средний вес у n = 200 пачек чая хср = 26 грамм, а исправленное среднее квадратическое отклонение s = 1 грамм. В предложение о нормальном распределении, определить у какого количества пачек чая вес будет находиться в пределах от (хср -1) до (хср +1).
Методические рекомендации:
1. Найти критическое значение по функции Лапласа.
2. По формуле вероятности найти число благоприятных событий.
Задача 2
На основании выборочных наблюдений за производительностью труда n = 37 рабочих было вычислено х ср = 400 метров ткани в час исправленное среднее квадратическое отклонение s = 12 м/ч. В предложении о нормальном распределении найти вероятность того, что исправленное среднее квадратическое отклонение будет находиться в интервале от 11 до 13.
Методические рекомендации:
1. Найти точность оценки, из нее t- критерий.
2. По таблице Лапласа найти вероятность
Задача 3
В результате анализа технологического процесса получен вариационный ряд:
| Число дефектных изделий | |||||
| Число партий |
Предполагая, что число дефектных изделий в партий распределено по закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий.
Методические рекомендации:
Вероятность находится по формуле Пуассона
Задача 4
Составить закон распределения вероятностей числа появления события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6.
Методические рекомендации:
Используйте свойства вероятностей
Форма проведения: Решение данных задач студентами самостоятельно на местах и при необходимости у доски.
Основная литература: [6, С.13-30], [5, С.197-199, С.213-223] [11, С.28-33.] [12,С.33-42]
Дополнительная литература: [22]
Тема №4Статистические оценки распределения
Задача 1. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий корпораций в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платежных документов, по которым средний срок перечисления и получения денег оказался равным 22 дням со средним квадратическим отклонением 6 дней. Необходимо с вероятностью р =0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней продолжительности расчетов предприятий данной корпорации.
Задача 2.Среди выборочно обследованных 1000 семей региона по уровню душевого дохода (2-х % механическая выборка) малообеспеченных оказалось 300 семей. Требуется с вероятностью 0,997 определить долю малообеспеченных семей по всем регионам вместе.
Задача 3. Для определения урожайности зерновых культур проведено выборочное обследование 100 хозяйств региона различных форм собственности, в результате которого получены сводные данные (таблица). Необходимо с вероятностью 0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней урожайности зерновых культур по всем хозяйствам вместе.
Распределение урожайности по хозяйствам региона, имеющим различную форму собственности
| хозяйства | количество обследованных хозяйств | средняя урожайность | дисперсия урожайности в каждой группе |
| коллективные | |||
| акционерные общества | |||
| Крестьянские | |||
| Итого | х | х |
Задача 4. Для определения среднего возраста 1200 студентов факультета необходимо провести выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение возраста студентов равно 10 годам. Сколько студентов нужно обследовать, чтобы с вероятностью 0,954 средняя ошибка выборки не превышала 3 года.
Задача 5. Методом собственно случайной выборки обследована жирность у 100 коров. По данным выборки средняя жирность молока оказалась равной 3,64 %, а дисперсия составила 2,56 %. Определить: а) среднюю ошибку выборки; б) с вероятностью 0,954 предельные значения генеральной средней.
Задача 6. На основе выборочного обследования 600 рабочих (n= 600) одной из отраслей промышленности установлено, что удельный вес численности женщин составил 0,4. С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли женщин, занятых в этой отрасли, допущена ошибка, не превышающая 5 %?
Задача 7. Сколько рабочих нужно обследовать в порядке случайной выборки для определения средней заработной платы, чтобы с вероятностью, равной 0,954, можно было бы гарантировать ошибку не более 5 тенге? Предполагаемое среднее квадратическое отклонение 20 тенге.
Форма проведения: Решение данных задач студентами самостоятельно на местах и при необходимости у доски.
Основная литература: [6, С.13-30], [5, С.197-199, С.213-223] [11, С.28-33.] [12,С.33-42]
Дополнительная литература: [20],[32]
Тема №5Проверка гипотез
Задача 1. Компания заявила, что месячный доход по ее высокодоходному инвестиционному фонду превысил доход индекса на 0,3% или на 0,003. В течение одногодичного периода средний доход по индексу составил 0,005, а средний доход фонда – 0,0065, среднее квадратическое отклонение равно 0,019. Уровень значимости 0,05. Выполните одностороннюю статистическую проверку гипотезы, что доход по портфелю фактически превысил доход по индексу.
Методические рекомендации:
1.Найти наблюдаемое значение, используя стандартизированный критерий для проверки средней величины.
2. Определить критическое значение по таблице Стьюдента.
Задача 2. На склад магазина поступила большая партия апельсинового сока. По стандарту содержание натурального сока в упаковке, рассчитанной на 1 литр продукции, должно составлять 80%, остальное – консерванты и пищевые добавки. При проверке 49 упаковок оказалось, что средний процент содержания натурального сока фактически составляет 75%, при среднем квадратическом отклонении 4%. Уровень значимости 0,1. Проверить гипотезу на соответствие полученного продукта стандарту качества.
Методические рекомендации:
1.Найти наблюдаемое значение, используя стандартизированный критерий для проверки средней величины
2. Определить критическое значение по таблице Стьюдента.
Задача 3. Средняя оценка на выпускном экзамене для 16 студентов-медиков равна 78 баллам, исправленное среднее квадратическое отклонение равно 6. используя односторонний t-критерий при уровне значимости 5 % проверьте гипотезу о том, что данная выборка взята из распределения с выборочной средней равной 82 баллам.
Методические рекомендации:
1.Найти наблюдаемое значение, используя стандартизированный критерий для проверки средней величины
2. Определить критическое значение по таблице Стьюдента.
Задача 4. Компания, занимающаяся консультированием в области инвестиций, заявляет, что среднегодовой процент по акциям определенной отрасли промышленности составляет 11,5%. Инвестор, желая проверить истинность этого утверждения, на основе случайной выборки 50 акций выявил, что среднегодовой процент по ним составил 10,8% с исправленным средним квадратическим отклонением 3,4%. На основе имеющейся информации определите, имеет ли инвестор достаточно оснований, чтобы опровергнуть заявление компании? Принять уровень значимости 
.
Задача 5. Производитель некоторого вида продукции утверждает, что 95% выпускаемой продукции не имеют дефектов. Случайная выборка 100 изделий показала, что только 92 из них свободны от дефектов. Проверьте справедливость утверждения производителя продукции на уровне значимости .
Задача 6. На 1 января 1996 г. численность беженцев в Ростовской области составляла 32 412 чел. при общей численности наличного населения 4425400 чел. В Краснодарском крае на 5043900 чел. наличного населения приходилось 30423 беженца. На уровне значимости ответьте на вопрос: «Объясняется ли более высокий удельный вес беженцев в общей численности населения в Ростовской области в сравнении с Краснодарским краем случайными факторами или имеет смысл поиск факторов, обусловивших это явление?»
Задача 7. Компания по производству безалкогольных напитков предполагает выпустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором сахар заменен сукразитом. Компания хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70% ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напиток был предложен на пробу 2 тыс. чел., и 1422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли компания отклонить предположение о том, что только 70% всех ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка старой? Принять уровень значимости .
Задача 8. Производители нового типа аспирина утверждают, что он снимает головную боль за 30 мин. Случайная выборка 100 чел., страдающих головными болями, показала, что новый тип аспирина снимает головную боль за 28,6 мин при среднем квадратическом отклонении 4,2 мин. Проверьте на уровне значимости справедливость утверждения производителей аспирина о том, что это лекарство излечивает головную боль за 30 мин.
Форма проведения: Решение данных задач студентами самостоятельно на местах и при необходимости у доски.
Основная литература: [5, С.281-343], [7, С.73-114], [11, С.34-54.], [12,С.65-79],[13] [14]
Дополнительная литература: [20] [32]