Пример выполнения задания. Уравнения движения материальной точки: x=4·t, см; y=16·t2-1, см.Момент времени: t0,5=0,5 c
Уравнения движения материальной точки: x=4·t, см; y=16·t2-1, см.Момент времени: t0,5=0,5 c.
Решение.
1. Выразив время t=x/4из уравнения для абсциссы x и подставив его в уравнение для ординаты y, получим уравнение у = х2-1, уравнение траектории движения точки – уравнение параболы (рисунок 2).
Определим местоположение М материальной точки на траектории в заданный момент времени, положив текущее время t в уравнениях движения равным заданному: t=t0,5=0,5 c,
x0,5=4·0,5=2 см; y0,5=16·0,52-1=3 см.
Определим местоположение М0 материальной точки на траектории в момент начала движения, положив текущее время t в уравнениях движения равным начальному: t=t0=0 c,
x0=4·0=0 см; y0=16·02-1=-1 см.
Траекторией движения материальной точки является правая ветвь параболы с началом в положении М0, уходящая в бесконечность.
2. Скорость 
движения материальной точки определим, найдя ее горизонтальную 
и вертикальную 
составляющие.
Для этого найдем ее (их) проекции vx и vy на оси декартовой системы координат дифференцированием уравнений движения.
; vx = х’ = 4 см/с; vy = y’ = 32·t=32·0,5=16 см/с.
Модуль скорости: 
см/с.
3. Ускорение 
материальной точки определим, найдя его горизонтальную 
и вертикальную 
составляющие.
Для этого найдем его (их) проекции 
и 
на оси декартовой системы координат повторным дифференцированием уравнений движения.
ax= х’’= vx’ = 4’=0 см/с2; ay= y’’= vy’ = (32·t)’=32 см/с2.
Модуль ускорения: 
см/с2.
4. Проекцию ускорения точки на касательную найдем по формуле
см/с2.
Знак «+» соответствует ускоренному движению материальной точки в данном положении M на траектории в данный момент t0,5 времени.
5. Проекцию ускорения точки на нормаль найдем по формуле
см/с2.
6. Радиус ρ кривизны траектории движения точки в рассматриваемом положении определим по формуле 
см.
7. Кривизна K траектории движения точки в рассматриваемом положении равна: 
см-1.
Модуль нормального ускорения для случая движения точки по траектории постоянной кривизны (окружность, прямая), когда радиус кривизны известен, следует определить по формуле
, ρ=R для окружности радиуса R, ρ=∞ для прямой.
Тогда модуль касательного ускорения в случае движения по окружности следует определить так: 
.
На рисунке 2 показано положение точки М взаданный момент времени. Вектор построен по составляющим и , причем этот вектор должен совпадать с касательной к траектории. Вектор 
построен посоставляющим и ,затем разложен на составляющие 
и 
.Знаки величин 
и 
, вычисленных аналитически, должны соответствовать направлениям составляющих и .
Рисунок 2 – Траектория движения материальной точки, ее скорость и ускорение,
его касательная и нормальная составляющие
Результаты вычислений для заданного момента времени t0,5= 0,5 с приведены в таблице 4.
Таблица 4 – Кинематические параметры материальной точки в заданный момент времени
| Координаты точки, см | Проекции скорости и скорость точки, см/с | Проекции ускорения и ускорение точки, см/с2 | Радиус кривизны траектории, см | |||||||
| x | y | vx | vy | v | ax | ay | a | at | an | ρ |
| 2,0 | 3,0 | 4,0 | 16,0 | 16,5 | 32,0 | 32,0 | 31,0 | 7,8 | 35,0 |
Задание К.3. Кинематический анализ плоского механизма
Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат. Необходимые для расчета исходные данные приведены в таблице 5, а схемы механизмов приведены в таблице 6.
Таблица 5 – Исходные данные к заданию К.3
| Вариант | Размеры, см | wOA, рад/с | w1, рад/с | eOA, рад/с2 | uА, см/с | аА, см/с2 | |||
| OA | r | AB | AC | ||||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | – | – | – | ||||
| – | – | – | – | – | |||||
| – | – | – | – | – | |||||
| – | 1,5 | – | – | ||||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | – | – | |||||
| – | – | – | – | – | |||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | – | – | |||||
| – | – | – | – | – | |||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | |||||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | – | – | |||||
| – | – | – | – | – | |||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | |||||||
| – | – | – | – | – | |||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | – | – | |||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | |||||||
| – | – | – | – | – | |||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | – | ||||||
| – | – | – | – | – | |||||
| Примечание – wOA и eOA – угловая скорость и угловое ускорение кривошипа ОА при заданном положении механизма; w1 – угловая скорость колеса I (постоянная); uА и аА – скорость и ускорение точки А. Качение колес происходит без скольжения |
Таблица 6 – Схемы механизмов к заданию К.3
Продолжение таблицы 6
Продолжение таблицы 6
