Расчет сложной электрической цепи

ЧАСТЬ I. РАСЧЕТ ПОЛЯ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ И ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИК.

Задание:

 

Дан бесконечно длинный проводящий цилиндр радиусом R1, окруженный двумя слоями диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2. Граница раздела диэлектриков представляет собой цилиндрическую поверхность радиусом R2.

В зависимости от расстояния r между осью цилиндра и произвольной точкой найти электрическое смещение D, напряженность E, поляризованность P, потенциал U и плотность энергии электрического поля. Построить зависимости D=D(r), E=E(r), P=P(r), U=U(r).

Определить:

- энергию электрического поля Wэ1, заключенную в области диэлектрика с ε1;
- обобщенную силу, действующую на поверхность цилиндра на единицу осевой длины;
- емкость цилиндра относительно проводящей цилиндрической оболочки радиусом на единицу осевой длины.

Исходные данные:

 

R2

R1

ε1

ε2

Решение:

 

1. Разделим рисунок на три области:

 

0: 0≤r≤R1

1: R1≤r≤R2

2: R2≤r≤R3

 

2. Найдем для каждой из областей:

 

2.1. 0: 0≤r≤R1

В области цилиндра поля нет, следовательно:

2.2. 1: R1≤r≤R2

Используем постулат Максвелла:

 

Имеем:

Отсюда:

Рассчитаем τ по заданным параметрам:

Так как следовательно:

;

Так как .

Отсюда:

= .

 

2.3. 2: R2≤r≤R3

Аналогично области 1 получаем: , ;
= .

 

3. Приняв , найдем для каждой из областей:

 

3.1 ;

Так как поля внутри цилиндра нет, то , получаем:

=

.

3.2

.

 

3.3

.

4. Найдем энергию электрического поля Wэ1, заключенную в области диэлектрика с ε1:

 

4.1 Найдем

.

4.2 Найдем :

.

5. Найдем обобщенную силу, действующую на поверхность цилиндра на единицу осевой длины:

Так как , получаем:

6. Найдем емкость цилиндра относительно проводящей цилиндрической оболочки радиусом на единицу осевой длины:

 

U1
U2
R3=2 R2
R2
R1
Искомая величина равна емкости цилиндрического конденсатора на единицу осевой длины.

7. Полученные результаты:

7.1 в зависимости от области:

 

0: .

1:

.

2: ,

7.2 Плотность энергии электрического поля:

 

.

 

7.3 Энергию электрического поля Wэ1, заключенная в области диэлектрика с ε1:

 

.

 

7.4 Обобщенная сила , действующая на поверхность цилиндра:

 

.

 

7.5 Емкость цилиндра относительно проводящей цилиндрической оболочки радиусом :

 

 

8. Графики зависимостей:

R1
R2
R3

 

R1
R2
R3

 

 


ЧАСТЬ II. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО
ТОКА С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНА ОМА
И ЗАКОНОВ КИРХГОФА.

Расчет входного сопротивления электрической цепи и токов во всех ветвях при подключении цепи к источнику э.д.с.

Задание.

 

Определить входное сопротивление цепи постоянного тока со стороны полюсов b и c при замкнутом и разомкнутом положениях ключа. Сопротивления всех резисторов Rk = 10 Ом.

Найти токи во всех ветвях схемы при подключении цепи к источнику напряжения U = 100 В.

Рассчитать напряжение между зажимами a и c .

Исходные данные.

a
b
c


Rk = 10 Ом.
U = 100 В.

 

 

Решение.

 

а) Ключ разомкнут:

 

b
I1
I2
I3
I4
R2
R1
R3
R4
c
d
Изобразим схему при разомкнутом ключе, зададим условные положительные направления токов в ветвях:

 

b
I1
I2
I3
I4
R2
R1
R3
R4
c
d
Схема 1a
Представим схему в удобном для расчета виде:

 

 

b
I1
I2
R2
R1
Rэ1
c
d
Схема 2a
Преобразуя участки с последовательным и параллельным соединением элементов, получим следующие эквивалентные схемы:


.

 

Rэ2
b
I1
I2
R1
c
Схема 3a
.

 


b
Rвх
c
Схема 4a
Iвх
Uвх
.

 

 

Найдем токи в ветвях схемы:

Из схемы 4а:

.

Из схемы 3а:

.

.

Из схемы 2а:

.

Из схемы 1а:

.

Найдем напряжение между зажимами a и c:

Так как на участке ab ток равен 0, то .

 

 

б) Ключ замкнут:

 

Изобразим схему при замкнутом ключе, зададим условные положительные направления токов в ветвях:

a
b
c
d
e
I1
I2
I3
I4
R2
R1
R3
R4
I5
I6
I7
R5
R6
R8
R7
R9

 

 


Представим схему в удобном для расчета виде:


I5
I6
R5
R6
b
I1
I2
I3
I4
R2
R1
R3
R4
c
d
Схема 1б
a
R8
R7
R9
I7
e

 

Rэ2
b
I1
I2
R2
R1
Rэ1
c
d
Схема 2б
a
R8
R7
R9
I7
e
Преобразуя участки с последовательным и параллельным соединением элементов, получим следующие эквивалентные схемы:


;

.

 

 

b
I1
I2
R1
Rэ4
c
Схема 3б
Rэ3
I7

;

.

 

b
Rвх
c
Схема 5б
Iвх
Uвх
b
I1
Iэ5
R1
c
Схема 4б
Rэ5
;

.

 

Найдем токи в ветвях схемы:

Из схемы 5б:

.

Из схемы 3б:

;

;

.

Из схемы 2б:

;

.

Из схемы 1б:

;

.

Найдем напряжение между зажимами a и c:

Из схемы 2б:

.

Расчет сложной электрической цепи.

Задание.

 

Найти токи и напряжения ветвей в электрической цепи постоянного тока.

Проверить условие баланса мощности в цепи.

Определить напряжение между отмеченными на схеме точками A и B.

Исходные данные.

В
А
R1
R3
R2
R4
Е1
Е3
Е4
J


.

Решение.

 

В
А
R1
R3
R2
R4
Е1
Е3
Е4
J
J
I1
I2
I3
I4
I
II
Представим схему в удобном для расчета виде, зададим условные положительные направления токов, обозначим узлы, направление обхода контуров:

 

 

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для 1 и 2 узлов:

.

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для I и II контуров:

.

Подставляя числовые данные, получаем следующую систему уравнений:

.

 

Корнями уравнений системы являются искомые токи. Решим ее и найдем их:

;

;

;

;

;

;

 

;

;

;

.

Определим напряжения в ветвях схемы:

;

;

;

.

 

Проверим условие баланса мощности в цепи:

;

;

;

;

;

;

, Баланс сходится.

 

Определим напряжение между точками А и В:

.

Для проверки определим напряжение между точками А и В по другому контуру:

.