Построение графиков функций
№ п/п
| Пример ПП 16
4. Построение графиков функций
|
№19
| Исследуйте функцию и постройте её график.
1). Функция определена при всех . Для нахождения точек пересечения с осями записываем уравнения и ; получаем, что ось пересекается в точке с , а ось - в точках и .
2). Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, вертикальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асимптот. ,
При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для раскрытия неопределённости типа . Итак, у графика есть наклонная асимптота; её уравнение
3). Находим производную: . Знак производной определяется знаком выражения . Видим, что в области , при и при . Получаем, что в области функция убывает, при - возрастает и при - убывает. Находим критические точки. при , не существует при , . При переходе через знак производной меняется с (-) на (+), т.е. это точка минимума. При производная не существует, значит, минимум острый. При переходе через вторую критическую точку производная меняет знак с (+) на (-) , т.е. при - максимум: . При переходе через знак производной не меняется, значит экстремума нет.
4) Находим вторую производную: . Видим, что при ; в этой области график выпуклый; при , т.е. интервал также является областью выпуклости. При , следовательно, при график вогнут. Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует при и при . При переходе через первую точку знак не меняется, а при переходе через вторую – меняется. Итак, точкой перегиба является точка с координатами , .
|
Определение скорости возрастания и убывания функций
Скорость роста линейной функции
постоянна и равна
, квадратичной функции – линейна, и вообще, производная степенной функции, являясь меньшей степенью, растет медленнее, чем сама функция; скорость роста показательной функции пропорциональна значению самой функции, так как
.
№ п/п
| Пример ПП 16
5. Определение скорости возрастания и убывания функций
|
№20
| Какая из функций или растет быстрее при больших ?
При функция растет быстрее, так как ~ , а ~ .
Определим, начиная с каких значений аргумента становится больше .
Рассмотрим при . , при , функция возрастает, значит, , т.е. функция растет быстрее, начиная с .
|
Доказательство неравенств с помощью производной
Если в точке
выполняется условие
и для всех
выполняется условие
, то для всех
верно неравенство
.
№ п/п
| Пример ПП 16
6. Доказательство неравенств с помощью производной
|
№21
| Докажите неравенство: при .
Рассмотрим . Докажем, что при , т.е. что эта функция является возрастающей. , т.к. , значит, , если . Это доказывает неравенство в случае строгого возрастания аргумента.
|