Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин

№ п/п Примеры ПП 16 9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин  
№24 Площадь поверхности сферы равна . Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу? Обозначим высоту цилиндра , . По условию , . Из : . Объем цилиндра . По смыслу задачи , т.е. . Исследуем функцию на этом интервале. Производная при , вблизи этого значения меняет знак с + на –, значит при этой высоте объем цилиндра будет наибольшим.
№25 Владелец фабрики установил, что если он будет продавать свои изделия по цене руб., то его годовая прибыль составит руб. Определите , при котором прибыль будет максимальной. при , при этой цене прибыль будет максимальной.

пп 16. I. исследование функций
№ п/п ЗАДАЧИ
ПП16.I №1 Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции . РЕШЕНИЕ: Функция не определена при . , при .
разрыв
min

Функция возрастает при ; убывает при ; – точка минимума.
ПП16.I №2 Найдите экстремумы функции . , , .
х -1
+ – + –
    max   min   max  

Вид графика функции .

 
ПП16.I №3 Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы. РЕШЕНИЕ: Функция определена для . Производная функции обращается в ноль при и , при , при , то есть в точке функция принимает минимальное значение.
ПП16.I №4 Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы. РЕШЕНИЕ: Производная функции . при , второй множитель положителен при любых . Знак производной совпадает со знаком : при функция убывает; при функция возрастает, в точках достигается максимальное , а в точках – минимальное значения функции .
ПП16.I №5 Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы. РЕШЕНИЕ: Производная функции представляет собой многочлен, который мы преобразуем следующим образом: , откуда видно, что при любых , значит, функция возрастает для всех и экстремумов не имеет.
ПП16.I №6 Исследуйте функцию и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1) , - точка пересечения с осями. 2) f (x) – непрерывна всюду вертикальных асимптот нет. - наклонная (горизонтальная) асимптота при наклонных асимптот при нет. 3) , . 4) , .
х
у
+ – – –
– – – +
  max перегиб

Вид графика функции .

 


 

ПП16.I №7 Сколько раз график функции пересекает ось ? РЕШЕНИЕ: Функция определена для всех , не обладает определенной четностью, непериодическая. ; при и . График функции пересекает ось в одной точке . Построим схему.
  max   min  

 
ПП16.I №8 Исследуйте функцию и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1) Область определения функции: ; эти точки являются точками разрыва функции; при функция ; при , . 2) Функция нечетная: . Построим график для и отобразим его нечетным образом относительно начала координат. 3) Точка пересечения с осью определяется условием , , для всех из области определения, т.е. функция является убывающей и не имеет экстремумов.

 

ПП16.I №9 Исследуйте функцию и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1) Функция определена всюду, кроме точки . График функции имеет вертикальную асимптоту . 2) Точка пересечения с осями: . 3) Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы: ; является наклонной асимптотой. 4) Находим производную: . Знак производной определяется знаком дроби . При и , а при . Интервалы возрастания есть и ; интервал убывания . В области определения функции производная существует всюду и обращается в ноль при и . При , а при . Следовательно, точка является точкой максимума. Находим значение функции при : При переходе через другую критическую точку производная знак не меняет, т.е. не является точкой экстремума. 5) Находим вторую производную . Видим, что при , интервал является областью выпуклости. также при - это тоже область выпуклости; при - это область вогнутости. В области определения функции существует всюду; при . Так как при переходе через эту точку меняет знак, то есть абсцисса точки перегиба. Находим    
х
у
+ – + +
– – – – +
  max   перегиб

График имеет вид

ПП16.I №10 Исследуйте функцию и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1). Функция определена всюду, кроме точек . Точки пересечения графика с координатными осями: - точка пересечения с осями. 2). Функция нечетная, , график симметричен относительно начала координат, достаточно исследовать функцию при . 3). Точка является точкой разрыва II-рода, график функции имеет вертикальную асимптоту , , . Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы: ; , т.е., является правой наклонной асимптотой (и левой, так как при операции симметрии прямая переходит сама в себя). 4). Находим производную: . Знак производной определяется знаком . При , а при и . Интервал возрастания - ; интервалы убывания - и . В области определения функции производная обращается в нуль при и . При , а при . Следовательно, точка является точкой минимума. Находим значение функции при : . При переходе через критическую точку производная знак не меняет, т.е. не является точкой экстремума. 5). Находим вторую производную . Видим, что при , на интервале график функции выпуклый вверх. При - график функции выпуклый вниз. В области определения функции существует всюду; при . Так как при переходе через эту точку меняет знак, то есть абсцисса точки перегиба. Находим  
х
у
– – –
– + + +
  перегиб   min

График имеет вид:

 
 

ПП16.I №11 Исследуйте функцию и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1). Так как функция периодична с основным периодом , достаточно исследовать ее поведение на промежутке, длиной равном периоду, например, на . Арктангенс определен для всех значений аргумента, поэтому областью определения сложной функции будут промежутки оси , на которых , т.е., для промежутка это будет . Для , область значений . Точки пересечения графика с координатными осями: при котангенс не определен, точек пересечения с осью нет. Точки пересечения с осью находим, решая уравнение . 2). Четностью или нечетностью функция не обладает. 3). Точка не является точкой разрыва, так как не определена, . Поскольку на каждом периоде график лежит в конечной области плоскости , асимптот у графика существовать не может. 4). Найдем производную: . Для , , т.е., на каждом отдельном промежутке области определения функция монотонно убывает. 5). Найдем вторую производную . Корень уравнения на - . При график функции выпуклый вниз, при - график функции выпуклый вверх. Точка графика - точка перегиба. График имеет вид
ПП16.I №12 Постройте график функции . Область определения функции: , это точка бесконечного разрыва функции, для всех ; при ; при . Построим схему.
  разрыв   острый min   max