Многочлены в комплексной области
ПП 17. Комплексные числа.
Многочлены в комплексной области.
КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
Комплексные числа
Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа
Мнимая единица
.
Алгебраической формойкомплексного числа называется выражение вида:
.
Действительное число называется действительной частью комплексного числа
, действительное число
называется мнимой частью
.
Комплексное число , если
и
.
.
1.2. Модуль и аргумент комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Комплексная плоскость:
Геометрическая интерпретация комплексного числа : точка
на комплексной плоскости или вектор .
Модуль комплексного числа:
Геометрический смысл модуля комплексного числа:
- расстояние от точки
до начала координат;
- расстояние от точки
до точки
;
- уравнение окружности с центром в точке
и радиусом R;
- геометрическое место точек, равноудаленных от точек
и
.
Угол между радиус-вектором
и положительным направлением оси OX называется аргументом комплексного числа z:
,
где – главноезначение аргумента,
.
Для числа аргумент не определён.
При этом аргумент комплексного числа определяется следующим образом:
![]() |

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:
,
т.к. ,
.
Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа
Показательная форма комплексного числа:
,
.
Получается из формулы Эйлера:
(будет доказана позже, при изучении теории рядов).
Свойства :
10. - периодическая функция;
20. - значения функции
лежат на окружности
;
30.
Действия над комплексными числами
,
.
, если
и
.
,
,
,
.
С геометрической точки зрения сложение (вычитание) комплексных чисел равносильно сложению (вычитанию) изображающих их векторов.
В алгебраической форме:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
В тригонометрической форме:
1) ;
2) .
Действия возведения в степень и извлечения корняудобнее производить над комплексными числами, записанными в тригонометрической или показательной форме:
(формула Муавра)
,
где .
Корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений:
,
,
,
………………………
.
Числа имеют одинаковый модуль, значения корня будут изображаться точками на одной окружности.
В показательной форме:
1) ; 3)
;
2) ; 4)
,
.
Формулы Эйлера
,
,
,
,так как
.
Действия сложения и вычитания производятся только в алгебраической форме, действия умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, а тригонометрическая форма используется как переходная от алгебраической к показательной и наоборот.
Комплексное сопряжение
Комплексные числа и
называются сопряженными.
В показательной форме: ,
.
Свойства операции сопряжения:
1°. ;
2°. тогда и только тогда, когда
- действительное число;
3°. ,
4°. ,
5°. ,
6°. .
1.6. Свойства операций сложения и умножения:
1°. ,
2°. ,
3° ,
4°. ,
5°. .
Многочлены в комплексной области.
Корни многочлена
Многочлен:
,
При многочлен называется приведённым.
Рациональная дробь:
.
При дробь называется правильной,
при дробь называется неправильной.
Неправильную дробь всегда можно разложить на сумму многочлена и правильной дроби:
.
Корнем многочлена называют число
, удовлетворяющее уравнению
Теорема Безу. Остаток, получаемый при делении на (z-a), равен
Следствие.Для того чтобы многочлен делился на выражение
без остатка, необходимо и достаточно, чтобы число
было корнем этого многочлена:
.
Если ,
- корень кратности
.