Формулы действий с комплексными числами
: 
, 
; 
:
, 
.
, 
.
, 
:
;
;
= 
.
.
, 
, 
,
.
,
,
; 
, 
.
– формула Муавра.
, 
, k = 0, 1, 2, …, n – 1:
,
,
,…….
.
| ПП 17. 1. Комплексные числа | |||||||
| № п/п | Задание | Ответ | |||||
| ПП №17.1 | Вычислите  . Результат представьте в алгебраической форме. Решение:
 .
|  .
| |||||
| ПП №17.2 | Вычислите 
Решение:
 . 
| 
| |||||
| ПП №17.3 | Вычислите 
Решение:
| 
| |||||
| ПП №17.4 | Вычислите  . Результат представьте в алгебраической форме. Решение:
 .
| 
| |||||
| ПП №17.5 | Вычислите  . Результат представьте в алгебраической форме. Решение:
 .
| 
| |||||
| ПП №17.6 | Найдите  и  для числа  .
Решение:
 ,  ,  .
| 
| |||||
| ПП №17.7 | Запишите число  в различных формах. Дайте геометрическую интерпретацию.
Решение:
Алгебраическая форма: ;
тригонометрическая форма:  ;  ,
откуда  ,
 ;
показательная форма:  .
|  ,  .
| |||||
| ПП №17.8 | Найдите модули и аргументы комплексных чисел:
1)  ; 2)  ; 3)  .
Решение:
1)  ;  ;  ;
2)  ;  ;  ;
3) ;  ;  .
| 
| |||||
| ПП №17.9 | Запишите комплексные числа
1)  ; 2)  ; 3) 
в тригонометрической и показательной форме:
Решение:
1)  ;
2)  ;
3)  .
| ||||||
| ПП №17.10 | Найдите  , если  .
Решение:
 (  расположено в IV квадранте).
Тогда  .
  .
|  .
| |||||
| ПП №17.11 | Вычислите  .
Решение:
Представим число в тригонометрической форме:  .
Тогда по формуле Муавра:
| ||||||
| ПП №17.12 | Вычислите и изобразите на комплексной плоскости  .
Решение:
Запишем число  в показательной форме:  ;
 .
 .
 ,  ,  ,  .
 получен из корня  поворотом на  против часовой стрелки,  из  поворотом на  и т.д.
| 
| |||||
| ПП №17.13 | Вычислите  ; изобразите схематично значения корня на комплексной плоскости.
Решение:
 ;
 . Начальный аргумент при  равен  .
Значения корня:
 ,
 .
Соответствующие 6 точек располагаются в вершинах правильного шестиугольника на окружности радиусом  .
| 
| |||||
| ПП №17.14 | Найдите все значения  и постройте их на комплексной плоскости.
Решение:
Представим число  в тригонометрической форме.
 ,  .
 .
  .
 .
При   ,
 ,
 .
| 
| |||||
| ПП №17.15 | Найдите все значения корня  .
Решение:
 где  .  ,  ,  ,
 , и т.д.
| 
| |||||
| ПП №17.16 | Вычислите  .
Решение:
 где  .
   - угол I четверти.
|  ,  ,  ,  .
| |||||
| ПП №17.17 | Вычислите, найдите модуль, аргумент и постройте на комплексной
плоскости число  .
Решение:
1)
 ,
 .
Для правильного отыскания аргумента рекомендуется изобразить это число на комплексной плоскости.
 ;  ;
2)  (3 радиана  , так как 1 радиан  );
3)  ;
4)  ;
5) 
Вычислим модуль и аргумент полученного числа:  ,  .
  .
|
| |||||
| ПП №17.18 | Дайте геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям: 
Решение: Запишем  в алгебраической форме  , тогда из условия:  .
Искомое множество – нижняя половина кольца с внутренним радиусом  и внешним  .
| 
| |||||
| ПП №17.19 | Найдите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению 
Решение:
 ,
 .
Искомое множество состоит из точек окружности единичного радиуса, центр которой имеет координаты  .
| 
| |||||
| ПП №17.20 | Какие геометрические образы определяются условиями  ?
|  .  (см. рисунок).
| |||||
| ПП №17.21 | Какие геометрические образы определяются условиями  ?
|   . (см. рисунок).
| |||||
| ПП №17.22 | Какие геометрические образы определяются условиями  ?
|  .  (см. рисунок).
| |||||
| ПП №17.23 | Какие геометрические образы определяются условиями  ?
|   . (см. рисунок).
| |||||
| ПП №17.24 | Какие геометрические образы определяются условиями  ?
|   (см. рисунок).
| |||||
| ПП №17.25 | Дайте геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим условиям:  .
|  
| |||||
| ПП 17. 2. Многочлены в комплексной области | ||
| № п/п | Задание | Ответ |
| ПП №17.26 | Проверьте, что  является корнем многочлена  и найдите другие корни многочлена.
Решение:
Так как  , то является корнем многочлена  и многочлен делится на  без остатка.  
Для отыскания других корней многочлена решим уравнение  :  Итак, многочлен  имеет один действительный корень  и два комплексно-сопряженных корня  , 
|
|
| ПП №17.27 | Разложите на множители 
Решение:
 - корень кратности 3.
| 
|
| ПП №17.28 | Разложите на множители  .
Решение:
 ,  -действительный корень, у квадратного трехчлена действительных корней нет. Найдем пару комплексно-сопряженных корней:  ,  .
| 
|
| ПП №17.29 | Разложите на множители многочлен  .
Решение: Очевидно, действительных корней многочлен не имеет, находим комплексные корни:  ,  , где 
Корни многочлена:  .
Пары  и  – сопряженные:  объединим сомножители попарно:
 ,  =  ,  .
Аналогично,  .
Тогда  .
| 
|
| ПП №17.30 | Решите уравнение  .
Используя формулу для решения квадратного уравнения и полагая  , получим: 
| 
|
| ПП №17.31 | Решите биквадратное уравнение  .
Решение:
 .
 ;  .
| 
|
| ПП №17.32 | Решите уравнение  .
Решение:
Введём подстановку  . Получим квадратное уравнение  . По теореме Виета корни квадратного уравнения  , и исходное уравнение распадается на два более простых уравнения  и  , решения которых и дадут в совокупности все решения данного уравнения. Если , то  .
В тригонометрической форме  , поэтому  ,  или  , .
При  .
При  .
При  . Если , то  .
В тригонометрической форме  , поэтому  , .
При  .
При  .
При 
| |
| ПП №17.33 | Решите уравнение  .
По формуле корней квадратного уравнения
 .
Число, стоящее под знаком квадратного корня, можно было бы записать в показательной форме, а затем по известному правилу извлечь из него корень. Однако можно поступить иначе. Положим 
Возводим обе части в квадрат и находим  , откуда  ;  .
Эта система имеет решения:  поэтому
| 
|
| ПП 17. 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ | ||
| № п/п | Задание | Ответ |
| ПП №17.34 | Постройте кривую, заданную уравнением  , и найдите  , если  .
Решение:
 ,  ;  ,  .  .
| Прямая  ;
|
| ПП №17.35 | Постройте кривую, заданную уравнением , и найдите , если  .
Решение:
 ,  – параметрические уравнения циклоиды.  .
| Арка циклоиды
|
| ПП №17.36 | Для заданной функции  найдите линейную комбинацию производных  .
Решение:
   . Вычислим необходимую комбинацию производных для каждого слагаемого в скобках:    
Вычислим сумму:
| 
|
Постройте кривую, заданную уравнением , и найдите , если  .
Решение:
 ,  . Исключаем параметр:  – уравнение эллипса.
 .
| Эллипс
|