Геометрический и физический смысл
Производной
Геометрически производная функции
представляет угловой коэффициент
касательной к графику этой функции в точке
.
Если на плоскости задана точка и кривая как график явной функции
то:
- уравнение касательной в точке с абсциссой
,
,
- уравнение нормали в точке с абсциссой
. Если
, то уравнения касательной и нормали имеют вид соответственно:
,
.
При параметрическом задании кривой уравнения касательной и нормали записываются соответственно:
,
,
,
.
Угол между кривыми и
в точке их пересечения
– это угол между касательными к этим кривым в точке
. Этот угол находится по формуле:
.
Если в точке производная не определена, но функция имеет различные односторонние пределы
и
, то в этой точке графика функции существуют две различные с соответствующими угловыми коэффициентами
,
односторонние касательные, составляющие угол, а точка называется угловой.
Если , т.е. функция имеет бесконечную производную, то она не дифференцируема в этой точке. В этом случае график функции имеет вертикальную касательную (точка перегиба).
Если в точке функция имеет бесконечные односторонние производные разных знаков, то график функции имеет две слившиеся вертикальные касательные (асимптоты).
Если при прямолинейном движении точки задан закон движения , то скорость движения в момент
есть производная пути по времени:
, ускорение в момент
есть
.
При движении точки по окружности: угловая скорость вращения в данный момент равна производной от угла поворота
по времени:
. Угловое ускорение точки есть первая производная от угловой скорости
или вторая производная от угла поворота по времени
.
Сила тока в данный момент времени равна производной от количества протекшего электричества по времени: .
Химическое истолкование производной. Пусть - концентрация вещества, получаемого в ходе химической реакции в момент времени
. Тогда
- скорость реакции в момент
.
Пример 1. В точках пересечения эллипсов ,
найти угол между ними.
Решение: Эллипсы расположены симметрично относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим только первый квадрат координатной плоскости.
Решив систему найдем точку пересечения эллипсов
. Из уравнения первого эллипса получаем
, т.е.
. Следовательно
. Аналогично, для второго эллипса получим
. По формуле
,
получим:
.
Итак, эллипсы пересекаются в четырех точках под углом , т.е. под углом, равным приблизительно
.
Пример 2. Высота снаряда, вылетевшего с начальной скоростью
под углом
к горизонту, изменяется по закону
, где
- время,
- ускорение силы тяжести. В какой момент скорость изменения высоты снаряда над горизонтом равна нулю?
Решение: Вычислим производную функции .
Следовательно, скорость изменения высоты снаряда нал горизонтом равна нулю при .
Найти уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:
1. ,
.
2. ,
. Ответ:
,
.
3. ,
.
4.
.
5. к эллипсу ,
.
6. ,
. Ответ:
.
7. ;
. Ответ:
.
8. ,
. Ответ:
.
9. ,
. Ответ:
.
10. ,
. Ответ:
.
11. ,
. Ответ:
.
12. ,
. Ответ:
.
13. ,
. Ответ:
.
14. Ответ:
.
15.
. Ответ:
.
16. Найти углы, под которыми пересекаются линии, заданные уравнениями и
. Ответ:
,
.
17. Найти угол между кривыми:
a) и
. Ответ:
.
b) и
. Ответ:
.
Найти углы, под которыми график функции пересекает ось абсцисс:
18. . Ответ:
.
19. . Ответ: В точках
синусоида
пересекает ось абсцисс под углом .
20. . Ответ: В точках
угол
,
в точках угол
.
21. . Ответ:
.
22. .
Ответ: в точке угол
, в точке
угол
.
23. . Ответ:
.
24. . Ответ:
.
25. .
Ответ: в точках и
угол
,
в точке угол
.
26. .
Ответ: в точке угол
,
в точке угол
.
27. Ответ:
.
28. Ответ: 0.
29. .
Ответ: в точке угол
,
в точке угол
.
Найти точки, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс:
30. . Ответ: (-1;14), (2;-13).
31. . Ответ: (0;-1), (1;-6), (-2;-33).
32. . Ответ: (-1;-58), (1;54), (7;-2106).
33. . Ответ:
.
34. . Ответ:
.
35. . Ответ:
.
36. . Ответ:
.
37. Ответ:
.
38. . Ответ:
.
39. На кривой найти точку
, в которой касательная параллельна прямой
. Ответ:
.
40. Найти точку линии , в которой касательная перпендикулярна прямой
, составить уравнение этой касательной. Сделать чертеж. Ответ:
.
41. Точка движется вдоль прямой по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент времени
.
Ответ: .
42. Угол поворота шкива в зависимости от времени задан формулой . Найти угловую скорость и ускорение при
.
Ответ: угловая скорость равна ,
а угловое ускорение не зависит от времени и равно .
Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые:
43. ,
. Ответ:
.
44. ,
. Ответ:
.
45. ,
. Ответ:
.
46. ,
. Ответ:
.
47. ,
. Ответ:
.
48. ,
. Ответ:
.
49. ,
. Ответ:
.
50. ,
. Ответ:
.
51. и
. Ответ:
.
52. и
. Ответ:
.
53. Найти уравнение нормали к эллипсу в точке
. Ответ:
.
54. Найти уравнение нормали к гиперболе в точке
.
Ответ: .
Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания для следующих кривых:
55. Спирали Архимеда . Ответ:
.
56. Гиперболической спирали . Ответ:
.
57. Логарифмической спирали . Ответ:
.
58. Кардиоиды . Ответ:
.
59. Дуги лемнискаты Бернулли . Ответ:
.
60. Точка движется по параболе так, что ее абсцисса изменяется по закону
(
измеряется в метрах,
- в секундах). Какова скорость изменения ординаты точки через 9 с после начала движения? Ответ:
.
61. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 . Какова скорость изменения объема шара в момент, когда его радиус становится равным 50
? Ответ: 0,05
.
62. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот сделан за 8 с. Найти угловую скорость через 64 с после начала движения. Ответ: .
63. По оси абсцисс движутся две точки, имеющие законы движения: и
. С какой скоростью удаляются они друг от друга в момент встречи (
измеряется в метрах,
- в секундах)? Ответ:
.
64. Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 3 . Определить скорость движения парома в тот момент, когда он находится в 25 м от берега, если ворот расположен на берегу выше поверхности воды на 4м.
Ответ: .
65. Под каким углом пересекаются кривые и
в точке (1;1)? Ответ:
.
66. Определить среднюю скорость изменения функции на отрезке
. Ответ:
.
67. Найти расстояние от полюса до произвольной касательной кривой . Ответ:
.
68. Записать в декартовых и в полярных координатах уравнение нормали к кардиоиде в точке с полярным углом
.
Ответ: ,
.
69. Точка движется по спирали Архимеда так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса постоянна и равна
в секунду. Определить скорость удлинения полярного радиуса
, если
. Ответ:
.
Правило Лопиталя
Пусть в некоторой окрестности точки функции
и
дифференцируемы и
. Если
или
, т.е. частное
в точке
представляет собой неопределенность вида
или
, то
, если предел в правой части этого равенства существует.
Другими словами: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует. Аналогичное утверждение справедливо и в случае, если .
Если частное в точке
также есть неопределенность вида
или
и производные
и
удовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.
В случае неопределенности вида или
следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида
или
и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
В случае неопределенности вида или
, или
следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
Замечание: В правой части формулы Лопиталя берется отношениепроизводных, а не производная отношения.
Пример 1. Найти .
Решение: Имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим:
.
Пример 2. Найти .
Решение: .
Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз.
.
Пример 3.Найти .
Решение: Имеем неопределенность вида . Переписывая выражение в виде
, получим неопределенность вида
. Применяя правило Лопиталя, получим
.
Замечание: Если имеется неопределенность вида или
при вычислении предела функции
, то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида
. При этом
.
Пример 4. Найти .
Решение:
, т.к.
.
Отсюда .
Правило Лопиталя является эффективным методом раскрытия неопределенностей. Однако применение его не всегда приводит к цели.
Пример 5. Найти .
Решение: Если применить правило Лопиталя, то получим
,
т.е. числитель и знаменатель просто меняются местами. Неопределенность же сохраняется. Если применить правило Лопиталя вторично, то функция под знаком предела примет первоначальный вид. Таким образом, использование правила Лопиталя в данном случае не позволит раскрыть неопределенность. В то же время легко установить, что .
Пример 6. Найти .
Решение: Если применить правило Лопиталя, т.е.
,
то можно сделать ошибочный вывод о том, что предел данной функции не существует, т.к. не существует . На самом деле
, т.к.
(произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию).
Пример 7. Найти .
Решение: Если , то имеем неопределенность
. Прологарифмируем данную функцию
.
Получим: .
Далее:
.
Следовательно, или
.
Найти пределы следующих функций:
Неопределенность вида .
1. . Ответ:
.
2. . Ответ:
.
3. . Ответ:
.
4. . Ответ: 18.
5. . Ответ:
.
6. . Ответ: 0,18.
Неопределенность вида .
1. . Ответ: 1.
2. ,
. Ответ: 0.
3. . Ответ:
.
4. . Ответ:
.
5. . Ответ: 0.
Неопределенность вида .
1. . Ответ:
.
2. . Ответ: 1.
3. Ответ: 0.
Неопределенность вида .
1. . Ответ:
.
2. . Ответ:
.
3. . Ответ:
.
Неопределенности вида ,
,
.
1. . Ответ: 1.
2. . Ответ:
.
3. . Ответ: 2.
4. . Ответ:
.
Самостоятельная работа
Найти пределы:
1. . Ответ:
.
2. . Ответ:
.
3. . Ответ:
.
4. . Ответ:
.
5. . Ответ:
.
6. . Ответ: 1.
7. . Ответ:
.
8. . Ответ:
.
9. . Ответ:
.
10. . Ответ:
.
11. . Ответ: 1.
12. . Ответ: 3.
13. . Ответ:
.
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
Примерный вариант контрольной работы
1. Найти :
a) , b)
, c)
,
d) e)
.
2. Найти : a)
, b)
3. Составить уравнения касательных и нормалей в указанных точках к следующим кривым:
a) ,
, b)
.
4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции при заданном значении
:
,
.
5. Вычислить с помощью правила Лопиталя.