Максимум и минимум функции
Точка называется точкой максимума или минимума функции
, если в некоторой окрестности точки
выполняется неравенство
или
соответственно. Значения функции в точке
называются соответственно максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называется экстремумомфункции. Значения аргумента, при которых функция имеет экстремум, называются критическими точками первого рода.
Чтобы найти экстремальные значения функции, надо найти ее производную и, приравняв ее к нулю, решить уравнение
. Корни этого уравнения, а также точки, в которых производная не существует, являются критическими точками первого рода.
Если знак производной при переходе через точку меняется с плюса на минус, то
есть точка максимума. Если знак производной при переходе через точку
меняется с минуса на плюс, то
есть точка минимума. Если знак не меняется, то в точке
экстремума нет.
Иногда проще исследовать критическую точку по знаку второй производной. Если в критической точке, где первая производная равна нулю, , то
есть точка минимума. Если
, то
есть точка максимума. Если
, то такую точку исследуют по первой производной.
Если функция задана неявно , то для того, чтобы
, должно выполняться равенство
. Здесь
,
производные от функции
по
и
, найденные в предположении, что
и
не зависят от
и
, соответственно. Решая совместно
и
, находим критические точки. Экстремум функции в критических точках находят по знаку второй производной
. Если в критической точке
, то это точка максимума. Если
, то это точка минимума.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .
Решение: Находим производную и приравняем ее к нулю
. Корни этого уравнения
,
являются критическими точками.
При переходе через точку производная знака не меняет, т.к. данный множитель в квадрате, а при переходе через точку
меняет знак с минуса на плюс. Значит, в точке
функция имеет минимум. Находим экстремальные значения функции, а именно минимум функции
.
Пример 2.Исследовать на экстремум функцию .
Решение: Находим первую производную и приравняем ее к нулю
. Корни этого уравнения
,
,
являются критическими точками. Находим вторую производную
и выясним знак второй производной в критических точках:
- функция имеет максимум;
- функция имеет минимум;
функция имеет минимум. Определяем экстремальные значения функции:
- максимум функции;
- минимум функции;
- минимум функции.
Пример 3.Исследовать на экстремум функцию .
Решение: Находим первую производную и приравниваем ее к нулю
. Корни этого уравнения
,
Являются критическими точками. Находим вторую производную
и выясним знак в критических точках.
В точке вторая производная
- функция имеет максимум. В точке
вторая производная
, следовательно, судить об экстремуме нельзя. Проверим наличие экстремума по первой производной. Поскольку при переходе через точку
первая производная знака не меняет, то в точке
экстремума нет.
Определяем в точке максимальное значение функции
.
Пример 4.Исследовать на экстремум функцию .
Решение: Функция определена на всей числовой оси. Находим производную . Приравниваем производную к нулю
и находим критическую точку
. При переходе через точку
производная
меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в точке
функция имеет минимум
.
Приравнивая к нулю знаменатель производной, получаем . Отсюда находим критическую точку функции
, в которой производная не существует. Очевидно, что в точке
производная
, а в точке
производная
. Следовательно,
есть точка максимума функции
.
Пример 5.Исследовать на экстремум функцию .
Решение: Функция задана неявно. Находим и
. Производная
тогда, когда
, т.е.
.
Решая систему уравнений находим критическую
. Вычисляем вторую производную
. В критической точке
и
, если
, и
, если
. Таким образом, функция
при
имеет минимум, а при
имеет максимум.
Найти максимум и минимум функции:
1. . Ответ:
.
2. Ответ:
.
3. . Ответ:
.
4. . Ответ:
,
.
5. . Ответ:
,
,
.
6. . Ответ:
,
.
7. . Ответ: экстремумов нет.
8. . Ответ:
,
.
9. . Ответ:
,
.
10. . Ответ:
.
11. . Ответ:
,
.
12. . Ответ:
,
.
13. . Ответ:
.
14. . Ответ:
.
15. . Ответ:
.
16. . Ответ:
,
.
17. . Ответ:
,
.
18. Ответ:
,
.
19. Ответ:
,
.
20. . Ответ:
,
.
21. неявная функция: .
Ответ: ,
.
22. неявная функция: .
Ответ: ,
.
23. параметрически заданная функция:
.
Ответ: .
24. параметрически заданная функция:
Ответ: .
25. . Ответ:
,
если четное, то
.
26. .
Ответ: , если
нечетное;
если четное, то экстремумов нет.
27. . Ответ:
,
если четное, то
, если
четное, то
.