Распределение редких событий (Пуассона)
Когда вероятности альтернатив неравны, т. е. р ≠ q, биномиальное распределение асимметрично. При очень малой вероятности ожидаемого события, исчисляемой сотыми или тысячными долями единицы, по сравнению с вероятностью q противоположного события распределение вероятности или частоты таких событий описывается формулой Пуассона.
Модель такого распределения получают на основе независимых испытаний при постоянной вероятности р наступления некоторого случайного события X.
Как известно, вероятность того, что в n испытаниях случайное событие наступит равно m раз, определяется формулой, выражающей функцию распределения вероятностей для биномиального распределения.
Примем теперь дополнительные условия, а именно, что вероятность р наступления случайного события в единичном испытании весьма мала, но число испытаний n весьма велико, n 
, а произведение nр (обозначим его λ) – число постоянное и не очень большое.
При таких дополнительных условиях на основе формулы биноминального распределения получим следующее выражение для распределения вероятностей случайной переменной X:
(3.3)
где: λ = np; р = λ/n.
Так как числитель первой дроби имеет m сомножителей, а в знаменателе стоит nm, каждый из сомножителей можно разделить на n. Получим:
(3.4)
При n предел любой дроби (1 – λ/n) = 1,
а предел (1 – λ/n)n-m =e-λ
При этих условиях:
(3.5)
Выражение (3.5) называется функцией распределения вероятностей в распределении Пуассона.
В этом выражении m – частота ожидаемого события в n испытаниях, е = 2,7183; параметр λ = nр равен математическому ожиданию или наиболее вероятной частоте события, 
, а также дисперсии 
.
Для практических расчетов, когда находят теоретические ординаты распределения n, т. е. численности распределения случайного события X, выражение (3.5) умножают на N – общее число наблюдений, вместо 
принимают экспериментальное среднее число наблюдаемых случаев. Формула для n будет:
(3.6)
Распределение Пуассона с возрастанием средней X приближается к биномиальному. Распределение Пуассона описывает многие явления в технике и биологии. В технике оно находит широкое применение при контроле качества продукции, для аппроксимации распределения дефектных изделий. В биологии оно применяется как модель распределения числа семян сорняков – примесей в пробных навесках при анализе семян, поврежденных вредителем. Оно описывает также распределение численности возобновления, когда размер элементарных учетных площадок очень мал или условия заселения, площади неблагоприятны, так что вероятность благоприятного исхода р мала.
Вопросы для самоконтроля
1 Что такое биномиальная кривая распределения? Какая общая формула является основой для биномиального распределения?
2 Для анализа какого вида случайных переменных используются биномиальное распределение и распределение Пуассона?
3 Что такое n в биноме (р + q)n?
4 Какими параметрами характеризуется биномиальное распределение?
5 Является ли биномиальное распределение дискретным или непрерывным?
6 Чем отличается распределение Пуассона от биномиального?
7 Какие параметры биномиального распределения можно получить с помощью треугольника Паскаля и формулы Я. Бернулли?
8 При каких условиях предпочтительнее применять распределение Пуассона?
9 При каких условиях распределение Пуассона приближается к биномиальному?
10 Какими параметрами характеризуется распределение Пуассона?
11 Что означают максимальное значение и крайние левые и правые значения на графике кривой биномиального распределения?
ТЕМА 4 Основные модели теоретических распределений
4.1 Прямоугольное (равномерное) распределение
4.2 Нормальное распределение
4.3 Логарифмически нормальное распределение