Действия над комплексными числами
Суммой двух комплексных чисел 
и 
называется комплексное число, определяемое равенством
.
Разностью двух комплексных чисел 
и 
называется комплексное число, вычисленное по формуле
. (6)
Пример 2.Найти сумму и разность комплексных чисел 
и 
.
Решение.Чтобы найти сумму комплексных чисел, необходимо сложить соответственно их действительные и мнимые части:
.
Вычитание комплексных чисел выполняется аналогично сложению:
.
Ответ. 
, 
.
Произведением комплексных чисел 
и называется комплексное число, определяемое равенством
. (7)
То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, необходимо умножить их по правилу умножения двучленов, помня что i2 = -1 .
Проиллюстрируем умножение комплексных чисел на следующем примере:
.
Следует отметить, что произведение комплексного числа z на сопряженное число 
равно действительному числу
. (8)
При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются
. (9)
Возведение комплексных чисел в степеньnвыполняют по формуле Муавра
. (10)
Пример 3.Вычислить 
.
Решение. Обозначим выражение, стоящее в основании степени, через z1
.
Найдем модуль и аргумент числа z1:
, 
.
Вычислим значение 
по формуле (10):
.
Ответ. 
.
Правило деления. Чтобы разделить число z1 на число z2 необходимо числитель и знаменатель дроби 
умножить на число 
, сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное от деления чисел 
и 
.
Решение.
.
Ответ. 
.
Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел определяется как действие, обратное возведению в степень.
Корнемn-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число 
, удовлетворяющее равенству 
, т. е. 
.
, где 
. (11)
Замечание. Рассмотренная задача извлечения корня n-ой степени из комплексного числа равносильна решению уравнения вида 
, где, очевидно, 
. Для решения уравнения нужно найти n значений 
, а для этого необходимо найти модуль и аргумент комплексного числа и использовать формулу извлечения корня.
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение.Преобразуем исходное уравнение :
,
.
Примем подкоренное выражение за комплексное число z1= 
.
Определим модуль и аргумент числа z1:
, 
.
Полученные значения 
и 
подставим в формулу (11):
.
Заметим, что справа стоит 
- арифметический корень, его единственное значение равно 1.
Придавая 
последовательно значения от 0 до 5 , выписываем все возможные решения уравнения:
если 
, то 
,
, то 
,
, то 
,
, то 
,
, то 
,
, то 
.
Ответ.Уравнение имеет шесть корней:
, 
, 
, 
, 
, 
.
Пример 6.Дано комплексное число 
. Требуется:
а) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;
б) найти все корни уравнения 
.
Решение.
а) чтобы получить алгебраическую форму числа z, умножим его числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю
.
- это алгебраическая форма числа z.
Для записи числа z в тригонометрической форме вычислим | z | и arg z:
, 
.
Тригонометрическая форма числа z:
.
б) запишем уравнение 
в виде 
, откуда 
.
Представим число - z в тригонометрической форме
.
Корни уравнения вычислим по формуле (11)
.
При к = 0 
,
к = 1 
,
к = 2 
.
Ответ.а) алгебраическая форма числа z: 
, тригонометрическая форма числа z: 
,
б) уравнение имеет три корня:
, 
, 
.