СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

Пусть задано линейно преобразование вида

_{, (1)}

которое вполне определяется матрицей коэффициентов

( )

Матрица А называется матрицей линейного преобразования.

Вектор называется собственным вектором линейного преобразования, заданного матрицей А , если найдется такое число λ , что выполняется условие .

Это число λ называют собственным значением линейного преобразования, соответствующим собственному вектору .

Каждое собственное значение матрицы А является корнем ее характеристического уравнения

. (2)

Координаты собственных векторов, соответствующих найденным собственным значениям, находят из системы уравнений

. (3)

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Раскроем определитель по правилу треугольника

В результате преобразований последнее выражение примет вид:

Разложим левую часть уравнения на множители

Решением уравнения будут значения , , которые являются собственными значениями матрицы А.

Для отыскания координат собственных векторов составим систему уравнений

Найдем собственные векторы, соответствующие значению .

При получим систему уравнений

или

Легко видеть, что ранг матрицы системы равен 1, и система эквивалентна одному уравнению:

откуда

Если принять , а , то значение будет равно , где и - произвольные действительные числа.

Таким образом, все собственные векторы, соответствующие , определяются равенством

Найдем собственные векторы, соответствующие .

При получим систему уравнений

или

Запишем матрицу этой системы уравнений

Так как определитель этой матрицы равен 0, а минор второго порядка

то ранг матрицы равен двум, и первые два уравнения системы линейно независимы. Оставим в системе только независимые уравнения, члены с перенесем в правые части уравнений: