ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 13. ДВОВИМІРНА ДИСКРЕТНА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА
Задача. Дискретна двомірна випадкова величина 
задана законом розподілу
| |||
| –1 | 0,04 | 2а | 0,1 |
| 0,05 | 0,2 | 0,1 | |
| а | 0,05 | 0,01 |
Знайти: 1) параметр а; 2) закони розподілу випадкових величин 
та 
; 3) функцію розподілу 
; 4) функції розподілу 
та 
; 5) 
; 6) 
та 
; 7) 
та 
; 8) 
; 9) 
.
Розв’язання. 1) Параметр а знаходимо з умови 
, тобто
, або 
.
2) Знайдемо значення 
, 
,
і запишемо ряд розподілу випадкової величини
| |||
| 0,24 | 0,55 | 0,21 |
Аналогічно знаходимо 
, 
,
і запишемо ряд розподілу випадкової величини
| –1 | ||
| 0,44 | 0,35 | 0,21 |
3) Використовуючи формулу 
, знайдемо двомірну функцію розподілу 
, 
, 
, 
, 
,
, 
,
,
,
,
.
4) Скориставшись законами розподілу випадкових величин та , знайдемо 
та 
:
, 
,
, 
;
, 
,
, 
.
5) 
.
6) Для обчислення та скористаємось рядами розподілу випадкових величин та :
,
.
7) Обчислюємо дисперсії випадкових величин та :
8) Для обчислення коефіцієнта кореляції 
необхідно спочатку знайти 
, 
та 
:
, 
,
.
Підставивши отримані значення в формулу, знайдемо коефіцієнт кореляції 
.
9) 
. Обчислимо значення умовних ймовірностей 
:
, 
, 
.
Знайдемо умовне математичне сподівання
.
Задача 2. Дискретна двомірна випадкова величина задана законом розподілу:
|
| –2 | –1 | ||
| 0,03 | 0,07 | 0,25 | 0,08 | |
| 0,04 | 0,05 | 0,1 | 0,15 | |
| 0,02 | 0,01 | 0,2 |
Знайти: 1) закони розподілу випадкових величин та ; 2) функцію розподілу ; 3) функції розподілу та ; 4) 
.
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 14. ДВОВИМІРНА НЕПЕРЕРВНА
ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА
Задача. Двовимірна випадкова величина має щільність розподілу 
в області 
і 
поза областю.
Знайти: 1) параметр а; 2) ймовірність потрапити в область 
.
Розв’язання. 1) Параметр а знаходимо з умови, що 
, тобто
.
Звідки 
.
2) 
.
Задача. Двовимірна випадкова величина має щільність розподілу 
в прямокутній області 
і по за областю.
Знайти: 1) функцію розподілу ; 2) та ; 3) та ; 4) .
Розв’язання. 1) За означенням 
, тоді 
якщо 
або 
;
, якщо 
i 
якщо 
, 
.
2) Для того щоб знайти та потрібно визначити 
та 
. Знайдемо ці щiльностi розподiлiв за формулами: 
, 
.
,
.
Математичні сподівання знаходимо за формулами
,
.
3) 
,
.
4) Для знаходження коефiцiєнта кореляцiï спочатку обчислимо 
, 
та 
.
, 
.
Тодi 
.
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 15. СТАТИСТИЧНІ ОЦІНКИ
ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ
Приклад. За заданим дискретним статистичним розподілом вибірки
| X = xi | –6 | –4 | –2 | |||
| ni | ||||||
| Wi | 0,05 | 0,1 | 0,15 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
потрібно:
1. Побудувати F *(x) і зобразити її графічно;
2. Накреслити полігони частот і відносних частот.
Розв’язання. Згідно з означенням та властивостями F *(x) має такий вигляд:
Графічне зображення F *(x) подано на рис. 106.
Рис. 106
Полігони частот та відносних частот зображено на рис.107, 108.
Рис. 107
Рис. 108
Приклад. За заданим статистичним розподілом вибірки
| X = xi | 2,5 | 4,5 | 6,5 | 8,5 | 10,5 |
| ni |
потрібно:
1) обчислити 
, 
, 
;
2) знайти Mo*, Me*;
3) обчислити R, V.
Розв’язання. Оскільки 
, то згідно з формулами (354), (357), (358) дістанемо:
.
Для обчислення визначається
Тоді 
.
= 5,16.
= 2,27.
Mo* = 6,5; 8,5.
Отже, наведений статистичний розподіл вибірки буде двомодaльним. Me* = 6,5, оскільки варіанта х = 6,5 поділяє варіаційний ряд 2,5; 4,5; 6,5; 8,5; 10,5 на дві частини: 2,5; 4,5 і 8,5; 10,5, які мають однакову кількість варіант.
