ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 17. ДОВІРЧІ ІНТЕРВАЛИ
1. Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому 
.
2. Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому .
Приклад. Вимірявши 40 випадково відібраних після виготовлення деталей, знайшли вибіркову середню, що дорівнює 15 см. Із надійністю 
побудувати довірчий інтервал для середньої величини всієї партії деталей, якщо генеральна дисперсія дорівнює 
.
Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу необхідно знати: 
, n, x.
З умови задачі маємо: 
Величина х обчислюється з рівняння
Знайдемо числові значення кінців довірчого інтервалу:
Таким чином, маємо:
.
Приклад. Маємо такі дані про розміри основних фондів (у млн грн.) на 30-ти випадково вибраних підприємствах:
4,2; 2,4; 4,9; 6,7; 4,5; 2,7; 3,9; 2,1; 5,8; 4,0;
2,8; 7,8; 4,4; 6,6; 2,0; 6,2; 7,0; 8,1; 0,7; 6,8;
9,4; 7,6; 6,3; 8,8; 6,5; 1,4; 4,6; 2,0; 7,2; 9,1.
Побудувати інтервальний статистичний розподіл із довжиною кроку h = 2млн грн.
З надійністю 
знайти довірчий інтервал для 
, якщо 
= 5 млн грн.
Розв’язання. Інтервальний статистичний розподіл буде таким:
| h = 2 млн грн. | 2–4 | 4–6 | 6–8 | 8–10 |
| ni |
Для визначення 
необхідно побудувати дискретний статистичний розподіл, що має такий вигляд:
| ||||
| ni |
.
Тоді
Для побудови довірчого інтервалу із заданою надійністю необхідно знайти х:
Обчислюємо кінці інтервалу:
Отже, довірчий інтервал для 
буде 
.
Приклад. Якого значення має набувати надійність оцінки γ, щоб за обсягу вибірки n = 100 похибка її не перевищувала 0,01 при 
.
Розв’язання. Позначимо похибку вибірки
Далі маємо:
Як бачимо, надійність мала.
Приклад. Визначити обсяг вибірки n,за якого похибка 
гарантується з імовірністю 0,999, якщо .
Розв’язання. За умовою задачі 
Оскільки 
то дістанемо: 
Величину х знаходимо з рівності 
Тоді 
Приклад. Випадково вибрана партія з двадцяти приладів була випробувана щодо терміну безвідмовної роботи кожного з них tі. Результати випробувань наведено у вигляді дискретного статистичного розподілу:
| ti | |||||
| ni |
З надійністю побудувати довірчий інтервал для «а» (середнього часу безвідмовної роботи приладу).
Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу необхідно знайти середнє вибіркове і виправлене середнє квадратичне відхилення.
Обчислимо :
Отже, дістали 
Визначимо DB:
Отже, DB = 4348,75.
Виправлене середнє квадратичне відхилення дорівнюватиме:
За таблицею значень 
(додаток 3) розподілу Ст’юдента за заданою надійністю і числом ступенів свободи 
= 20 – 1 = 19 знаходимо значення 
Обчислимо кінці довірчого інтервалу:
Отже, з надійністю можна стверджувати, що 
буде міститися в інтервалі 
.
При великих обсягах вибірки, а саме: 
на підставі центральної граничної теореми теорії ймовірностей (теореми Ляпунова) розподіл Ст’юдента наближається до нормального закону. У цьому разі 
знаходиться за таблицею значень функції Лапласа.
Приклад. У таблиці наведено відхилення діаметрів валиків, оброблених на верстаті, від номінального розміру:
| h= 5 мк | 0–5 | 5–10 | 10–15 | 15–20 | 20–25 |
| ni |
Із надійністю побудувати довірчий інтервал для .
Розв’язання.Для побудови довірчого інтервалу необхідно знайти , S.
Для цього від інтервального статистичного розподілу, наведеного в умові задачі, необхідно перейти до дискретного, а саме:
|
| 2,5 | 7,5 | 12,5 | 17,5 | 22,5 |
| ni |
Обчислимо :
Отже, 
Визначимо DB:
Обчислимо виправлене середнє квадратичне відхилення S:
З огляду на великий (n = 250) обсяг вибірки можна вважати, що розподіл Ст’юдента близький до нормального закону. Тоді за таблицею значення функції Лапласа
Обчислимо кінці інтервалів:
Отож, довірчий інтервал для середнього значення відхилень буде таким: 
.
Звідси з надійністю (99%) можна стверджувати, що а 
[11,03 мк; 12,57 мк].