Способы определения границ случайных погрешностей при многократных измерениях
· Оценка погрешности среднеквадратичным отклонением
1. Пусть проведено n измерений величины x. Тогда за лучшую оценку истинного значения результата измерений принимается среднее арифметическое значение:
2. Далее вычисляем среднее квадратичное отклонение Sх по формуле:
3. Вычисляем случайную погрешность измерений по формуле:
где tS – коэффициент Стьюдента, который можно определить по таблице 5.
Таблица 5.
| a =0,9 | a =0,95 | a =0,99 | |||
| n | tS | n | tS | n | tS |
| 6,31 | 12,7 | 63,7 | |||
| 2,92 | 4,3 | 9,9 | |||
| 2,35 | 3,2 | 5,8 | |||
| 2,13 | 2,8 | 4,6 | |||
| 2,02 | 2,6 | 4,0 | |||
| 1,94 | 2,4 | 3,7 | |||
| 1,90 | 2,4 | 3,5 | |||
| 1.86 | 2,3 | 3,4 | |||
| 1,83 | 2,3 | 3,3 |
Коэффициент Стьюдента зависит от доверительной вероятности a и числа проведенных экспериментов n. В строгом научном эксперименте принято добиваться не менее чем 95%-ной достоверности, хотя в ряде случаев (например, в лабораторном эксперименте) оправдан и 90%-ный уровень.
Коэффициенты Стьюдента рассчитаны английским статистиком У.Госсетом, который работал на заводе Гинесса и ему по условиям контракта не разрешено было публиковать результаты своих исследований. Поэтому практически все свои работы Госсет опубликовал под псевдонимом Student (студент).
4. Значение измеряемой величины записывают в таком виде: х = 
∆х
· Оценка погрешности средним арифметическим отклонением
1. Пусть проведено n измерений величины x. Тогда за лучшую оценку истинного значения результата измерений принимается среднее арифметическое значение:
2. Среднее значение абсолютных погрешностей отдельных измерений, то есть отклонений от среднего, взятых по абсолютной величине, находится по формуле:
3. Значение измеряемой величины записывают в таком виде: х = ∆х
· Оценка погрешности граничными значениями
1. Приближенное значение искомой величины вычисляют как полусумму значений, соответствующих верхней и нижней границам.
2. Находят абсолютную (случайную) погрешность как полуразность значений, соответствующих верхней и нижней границам.
3. Значение измеряемой величины записывают в таком виде: х = ∆х
При косвенных измерениях абсолютные погрешности вычисляются по специальным формулам.
Задание 1.По результатам эксперимента по определению дальности полета тела, брошенного горизонтально, были получены значения дальности, представленные в таблице:
1. Заполните таблицу до конца и определите абсолютную случайную погрешность тремя способами.
Решение.
а) оценим погрешность граничными значениями.
| № опыта | li , см |  , см
| 
| 
|
| 36,5 | ||||
| 37,7 | ||||
| 38,4 |
Приближенное значение искомой величины вычислим как полусумму значений, соответствующих верхней и нижней границам:
Находим абсолютную (случайную) погрешность как полуразность значений, соответствующих верхней и нижней границам.
б) оценим погрешность средним арифметическим отклонением.
Определим среднее арифметическое значение измеренной дальности полета:
| № опыта | li , см | , см
| , см
| 
|
| 36,5 | 37,52 см | 1,02 | 1,0404 | |
| 0,52 | 0,2704 | |||
| 37,7 | 0,18 | 0,0324 | ||
| 0,48 | 0,2304 | |||
| 38,4 | 0,88 | 0,7744 |
Среднее значение абсолютных погрешностей отдельных измерений, то есть отклонений от среднего, взятых по абсолютной величине, находится по формуле:
в) оценим погрешность среднеквадратичным отклонением
Определим среднее арифметическое значение измеренной дальности полета:
Далее вычисляем среднее квадратичное отклонение Sl :
Находим случайную погрешность измерений, приняв доверительный интервал лабораторного эксперимента 0,9:
Учителю: обратите внимание учащихся на то, что не зависимо от способа учета погрешностей все полученные значения укладываются в допустимый для лабораторного эксперимента интервал. Так же стоит отметить, что при оценке погрешностей первым способом затрачиваются меньшие усилия, однако интервал погрешности оказывается больше, чем в двух других случаях. Для уменьшения погрешности в третьем способе, необходимо делать больше измерений, в этом случае коэффициент Стьюдента уменьшается (см. таблицу 5).
2. Сравните результаты измерений методом интервалов.
Учителю: при наличии времени предложите учащимся оценить результаты методом интервалов.
Решение. Так как во всех трех случаях случайная погрешность значительно превосходит систематическую (Dlсист.= 1,5 мм), то абсолютная погрешность измерений будет равна случайной погрешности измерений.
3. Запишите результат измерений с учетом погрешности: l=(37,5 0,6) см.
Занятие 4.Учет погрешности косвенных измерений