Полное сопротивление в цепи переменного тока. Резонанс напряжений

Представим цепь, в которой последовательно соединены резис­тор, катушка индуктивности и конденсатор (рис. 14.7, а). Напря­жение на зажимах а, b цепи, создаваемое внешним источником, выражается зависимостью (14.18). Как было показано в § 14.2, в общем случае сила тока в цепи и напряжение изменяются не в од­ной фазе, поэтому

где φ — разность фаз напряжения и силы тока.

 
 

Сумма напряжений на отдельных участках равна внешнему напряжению:

 
 

 

 
 

В соответствии с изложенным в § 14.2, напряжения UR, UL и Vr, можно записать так:

(в фазе с током);

 
 

(опережает силу тока по фазе на π/2);

 
 

(отстает от силы тока по фазе на л/2).

Подставив (14.36)—(14.38) в (14.35), после тригонометрических преобразований можно получить выражение для полного сопротив­ления цепи переменного тока и разности фаз φ. Однако более просто и наглядно удается это сделать с помощью векторных диаграмм.

 
 

На рис. 14.7, б по оси токов направлен вектор амплитуды силы тока 1т. Так как по всей цепи амплитуда силы тока одинакова, то амплитуды напряжений на участках отложим относительно этого вектора: вектор URm — в одной фазе с силой тока; вектор ULm — с опережением силы тока по фазе на π/2, вектор UCm — с отставани­ем от силы тока по фазе на π/2. Суммируя три вектора, находим графически значения Um и φ. Используя теорему Пифагора, имеем

 

 
 

Подставляя в (14.39) выражения этих амплитуд из (14.21), (14.27) и (14.32) и учитывая закон Ома, находим

 
 

где Z — полное сопротивление цепи переменного тока, назы­ваемое импедансом. Из (14.40) получаем

Омическое сопротивление R цепи называют также активным, оно обусловливает выделение теплоты в цепи в соответствии с за­коном Джоуля—Ленца. Разность индуктивного и емкостного со­противлений (XL - Хс) называют реактивным сопротивлени­ем. Оно не вызывает нагревания элементов электрической цепи.

Запишем закон Ома применительно к амплитудам напряже­ния и силы тока в цепи (рис. 14.7):

 
 

 

Из рис. 14.8 выразим также и значение ф через известные ве­личины:

 
 

Если индуктивное и емкостное сопротивления цепи при их по­следовательном соединении одинаковы (XL = Хс), то [см. (14.41)] Z = R, и из (14.43) имеем tg φ = 0 и φ = 0. Это означает, что сила тока и приложенное напряжение изменяются в одной фазе так, как будто в цепи имеется только омическое сопротивление; на­пряжения на индуктивности и емкости одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе.

Этот случай вынужденных электрических колебаний называ­ют резонансом напряжения.

 
 

Так как ULm = UCm, то Lωpe3 = 1/(Сωрез). Отсюда находим резо­нансную частоту:

При этом условии полное сопротивление Z цепи имеет на­именьшее значение, равное R, а сила тока достигает наибольшего значения. Векторная диаграмма для резонанса напряжений в це­пи показана на рис. 14.8.

Если Lω > 1/(Сω), то tg φ > 0 и φ > 0, сила тока отстает по фазе от приложенного напряжения (см. рис. 14.7, б). При Lω < l/(Cω) имеем tg φ < 0 и φ < 0. Сила тока опережает по фазе напряжение. Векторная диаграмма для этого случая дана на рис. 14.9.