Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если из- известно, что , . 1 страница
Решение. Так как величины 
и 
независимы, то незави- независимы также и величины 
и 
. Используя свойства дисперсии (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получим
.
Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если известно, что , .
Решение.
Так как величины 
и 
независимы, то независимы также и величины 
и 
. Используя свойства дисперсии получим:
.
№210 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
Решение:
Дисперсию можно вычислить, исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулой
,
которая быстрее ведет к цели.
Найдем математическое ожидание 
:
Напишем закон распределения 
Найдем математическое распределение 
Найдем искомую дисперсию:
.
Найдем искомое отклонение: 
.
№211 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины 
, заданной законом распределения:
a) 
б) 
Решение:
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:
Найдем математическое ожидание 
а) 
б) 
Напишем закон распределения для 
:
a) 
б) 
Найдем математическое ожидание 
а) 
б) 
Найдем искомую дисперсию:
а) 
б) 
Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:
a) 
б) 
№212 Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения х1 и х2, причем равновероятных. Доказать, что дисперсия величины Х равна квадрату полуразности возможных значений;
.
Решение:
найдем математическое ожидание Х, учитывая, что вероятности возможных значений 
и 
х2 и, следовательно, каждая из них равна ½;
.
Найдем математическое ожидание 
;
,
Найдем дисперсию Х:
.
Найти дисперсию дискретной случайной величины —числа появлений события в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,2.
Решение.
Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события:
.
По условию, 
; 
; 
.
Искомая дисперсия
Ответ: 0,8
Найти дисперсию дискретной случайной величины – числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.
Решение:
Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях(с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события:
.
По условию, 
; 
; 
.
Искомая дисперсия
Ответ: 0,9
Рудченко Олег
№215 Найти дисперсию дискретной случайной величины 
— числа появлений события 
в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что 
.
Решение.
Первый способ: Возможные значения величины 
таковы: 
(событие не появилось), 
(событие появилось один раз) и 
(событие появилось два раза).
Найдем вероятности возможных значений по формуле Бернулли:
P2(0)=q2; 
; P2(2)=p2;
Напишем закон распределения :
|
Найдём 
В силу условия 
, т. е. 
. Отсюда 
и, слеследовательно, 
.
Искомая дисперсия
Второй способ: Воспользуемся формулой 
. По условию, ; 
. Следовательно, 
. Отсюда 
и, значит, 
.
Найдем искомую дисперсию:
№216 Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х)=0.9.
Решение.
Ответ: 0.495.
№217 Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.
Решение:
Дисперсия равна:
p2-p+0,21=0
Решим квадратное уравнение.
Искомая вероятность появления события А равна:
№218 Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятность того, что 
примет значение
, равна 
Напишем закон распределения Х:
|
| 
|
|
| 
| 
|
{1}
Для отыскания и надо составить два уравнения, связывающие эти числа. С этой целью выразим известные математическое ожидание и дисперсию через и .
Найдём 
По условию, 
, следовательно {2} 
Для того, чтобы получить второе уравнение, выразим известную дисперсию через и .
Напишем закон распределения 
|
| 
| 
|
|
|
|
|
найдём 
Найдём дисперсию
Подставляя 
, после элементарных преобразований получим
Объединяя {2} и {3}, получим систему уравнений
Решив эту систему, найдём 2 решения
По условию 
, поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение 
, 
{4}
Подставив {4} в {1}, получим искомый закон распределения
|
| 
| 
|
|
|
|
|
№219 Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1, равна 0,2. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M(X)=2,6 и среднее квадратическое отклонение σ(X)=0,8.
Решение:
Напишем закон распределения Х (вероятность х2 получим из формулы о сумме вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины):
|
| 
| 
|
| 
| 
|
Нам известно математическое ожидание, тогда:
Так как 
Т.е. 
, отсюда 
Объединяя, получим систему уравнений (умножим каждое на 5):
Решивсистему, получим: 
Ответ:
|
|
| 
|
|
|
|
|
№220 Дискретная случайная величина имеет только три возможных значения: 
, 
, причем 
. Вероятности того, что примет значения 
и соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения
величины , зная ее математическое ожидание 
и дисперсию 
.
|
|
|
| 
|
|
| 
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№221 Брошены n игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.
Решение:
Обозначим через X дискретную случайную величину— сумму числа очков, которые выпадут на всех гранях, через 
— число очков, выпавших на грани i-й кости. Тогда
Очевидно, все величины X имеют одинаковое распределение, следовательно, одинаковые числовые характеристики и, в частности, одинаковые дисперсии,
т. е.
. (*)
Так как рассматриваемые случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых:
.
В силу (*) получим
. (**)
Таким образом, достаточно вычислить дисперсию случайной величины 
, т. е. дисперсию числа очков, которые могут выпасть на «первой» кости.
Напишем закон распределения 
|
| ||||||
| p | 
|
|
|
|
|
|
Найдем 
Напишем закон распределения 
| ||||||
| p |
|
|
|
|
|
|
Найдем 
и 
(***)
Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (***) в (**):
Ответ: 
.
№222 Вероятность наступления события в каждом испытании равна p 
. Испытания производятся до тех пор, пока событие не наступит. Найти:
А) математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа испытаний, которые надо произвести до появления события;
Б) дисперсию величины X.
Решение.
А) Составим закон распределения величины X – числа испытаний, которые надо произвести, пока событие не наступит:
|
|
|
|
| … | 
| … |
|
|
| 
| 
| … | 
| … |