Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если из- известно, что , . 8 страница

⇐ Назад

Далее ⇒

величина Y приняла значение Y = 1, достаточно, чтобы величина X

приняла значение Х = —1 или Х = 1. Последние два события несовместны,

их вероятности соответственно равны 0,3 и 0,2. Поэтому вероятность события Y = 1 по теореме сложения

P(Y = 1) = P (X = —1) + Р (Х = 1)=0,3+0,2 = 0,5.

Аналогично найдем вероятность возможного значения Y = 4:

P(Y = 4) = P (X = —2) + Р (Х = 2)=0,1+0,4 = 0,5.

Напишем искомый закон распределения величины Y:

Y 1 4

р 0,5 0,5

№376. Дискретная случайная величина X задана законом

распределения:

p 0,2 0,7 0,1

Найти закон распределения случайной величины

Решение.

Найдем возможные значения Y:

Итак, различным значениям X соответствуют одинаковые значения

Y. Это объясняется тем, что возможные значения X принадлежат

интервалу, на котором функция не монотонна.

Найдем вероятности возможных значений Y. Для того чтобы

величина Y приняла значение Y = , достаточно, чтобы величина X

приняла значение Х = или Х = . Последние два события несовместны, их вероятности соответственно равны 0,2 и 0,1. Поэтому вероятность события Y = по теореме сложения

P(Y = ) = P (Х = ) + Р (Х = )=0,2+0,1 = 0,3.

Для того чтобы Y = достататочно, чтобы величина X приняла значение . Вероятность же события X= по условию равна 0,7. Следовательно, и вероятность события Y = также равна 0,7.

Напишем искомый закон распределения величины Y:

Y 1

р 0,3 0,7

№377. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (a,b). Найти плотность распределения случайной величины Y = 3 Х.

Решение.

Так как функция у=3х дифференцируемая и строго

возрастает, то применима формула

(*)

где — функция, обратная функции у=3х.

Найдем :

=x=у/3.

Найдем :

(**)

Найдем производную

Очевидно, что:

= (***)

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

Так как x изменяется в интервале (a,b) и у=3х то 3a<y<3b

№378. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (a,b). Найти плотность распределения случайной величины Y, еслиа) Y = 3Х; б) Y=AX+B .

Решение.

a) Так как функция у= 3х дифференцируемая и строго

убывает, то применима формула

(*)

где — функция, обратная функции у= 3х.

Найдем :

=x= у/3.

Найдем :

(**)

Найдем производную

Очевидно, что:

= (***)

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

Так как x изменяется в интервале (a,b) и у= 3х то 3b<y< 3a

б) Так как функция у= х+b дифференцируемая и строго

возрастает при a>0 (строго убывает при a<0), то применима формула

(*)

где — функция, обратная функции у=

Найдем :

=x= .

Найдем :

(**)

Найдем производную

Очевидно, что:

= (***)

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

Так как x изменяется в интервале (a,b) и у= ax+b, то

Aa+B<y<Ab+B, A>0 и Ab+B<y<Aa+B, A<0

№379.Случайная величина X распределена по закону Коши

Найти плотность распределения случайной величины

Решение:

Так как функция дифференцируемая и строго

возрастает, то применима формула

(*)

где — функция, обратная функции у=

Найдем :

= (**)

Найдем производную

Очевидно, что:

= (***)

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

№380. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (0, ). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y, еслиа) Y = ; б) Y= ;

в) Y = ; г) Y = ; д) Y = ;

Решение:

Т.к. все функции в примерах а)-д) дифференцируемы и строго возрастают или строго убывают, то во всех случаях мы можем воспользоваться формулой:

(*),

где — функция, обратная данным функциям.

Найдем функцию для всех данных примеров.

а) =x=ln y

б) =x=

в) =x=

г) =x=

д) =x=

Для данных примеров найдем :

(**)

а) =

б) =

в) =

г) =

д) =

Найдём производную для данных примеров

а)

б)

в)

г)

д)

Очевидно, что:

(***)

а) =

б) =

в) =

г) =

д) =

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

а)

б)

в)

г)

д)

Так как x изменяется в интервале (0, ) то

а)

б)

в)

г)

д)

№381. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале ( , ). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y, еслиа) Y = ;

б) Y= ; в) Y = ; г) Y = ; д) Y = ; е)

Решение:

Среди данных функций лишь функция в примере д) является дифференцируемой и строго возрастающей. Следовательно, применима формула:

(*)

где — функция, обратная функции у=

Найдем :

(**)

Найдем производную

Очевидно, что:

= (***)

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

так как , то

Функции из примеров а)-в) и е) в интервале возможных значений X не являются монотонными, однако данные функции монотонны в двух интервалах ( ) и ( ). Тогда для вычисления плотности распределения случайной величины Y воспользуемся формулой:

(*),

где – функция обратная данной в интервале ( ), - обратная функция в интервале ( ).

Найдем функции и для примеров а)-в) и е):

а)

б)

в)

е)

Найдем и : (**)

а)

б)

в)

е)

Очевидно, что = . Найдем : (***)

а)

б)

в)

е)

Подставляя (***) и (**) в (*) получим:

а)

б)

в)

е)

В примере г) функция является периодической, с периодом 2 , поэтому рассмотрим данную функцию на интервале .

На данном интервале функция не является монотонной, однако данная функция является монотонной на двух интервалах и . Тогда для вычисления плотности распределения случайной величины Y воспользуемся формулой:

(*),

где – функция обратная данной в интервале , - обратная функция в интервале .

Найдем функции и :

Найдем и : (**)

Очевидно, что = . Найдем : (***)

Подставляя (***) и (**) в (*) получим:

Обобщим теперь данную формулу на интервал ( , ),получим:

№382. В прямоугольной системе координат хОу из точки А (4; 0) наудачу (под произвольным углом t) проведен луч, пересекающий ось Оу. Найти дифференциальную функцию g(y) распределения вероятностей ординаты у точки пересечения проведенного луча с осью Оу.

Решение:

Угол t можно рассматривать как случайную величину, распределенную равномерно в интервале , причем в этом интервале плотность распределения

вне рассматриваемого интервала f(t)=0.

Из рисунка 1 следует, что ордината у связана с углом t следующей зависимостью: y=4tg t .Эта функция в интервале монотонно

возрастает, поэтому для отыскания искомой плотности распределения g(y) применима формула.

(*)

⇐ Назад

Далее ⇒