Задания для самостоятельной работы. 1. Приведите уравнение гиперболы к каноническому виду: а) ; в) ; б) ; г)
1. Приведите уравнение гиперболы к каноническому виду:
а) ![]() | в) ![]() |
б) ![]() | г) ![]() |
2. Дано каноническое уравнение гиперболы. Найдите действительную и мнимую «полуоси», координаты вершин, координаты фокусов, фокальное расстояние, фокальные радиусы точки , эксцентриситет, уравнения директрис:
а) ![]() |
б) ![]() |
3. Постройте изображение гиперболы, ее фокусов и директрис:
а) ![]() | б) ![]() |
4. Докажите, что эксцентриситет равносторонней гиперболы равен .
Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки равно расстоянию до данной прямой
, не содержащей точку
.
Точка называется фокусом параболы, а прямая
- директрисой.
Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через
:
.
Коротко определение параболы можно записать так:
.
Пусть на плоскости дана прямая
и точка
. Проведем из точки
перпендикуляр
к прямой
. Выберем прямоугольную декартову систему координат
так, чтобы точка
была серединой отрезка
, а
(рис. 95).
Выведем уравнение параболы с фокусом
и директрисой
в системе координат
.
Найдем координаты точки и прямой
в системе
:
.
Пусть . Тогда по определению параболы
. Учитывая, что
, получим:
.
Преобразуем это уравнение:
;
. (42)
Итак, если точка принадлежит параболе
, то ее координаты удовлетворяют уравнению (42).
Пусть, обратно, координаты точки удовлетворяют уравнению (42), т.е.
.
Тогда
; а
. Следовательно,
, т.е.
(по определению параболы).
Таким образом, доказано, что уравнение (42) есть уравнение параболы с фокусом
и директрисой
. Уравнение (42) называется каноническим уравнением параболы.
Чтобы изобразить параболу по ее каноническому уравнению, исследуем геометрические свойства параболы.
Свойства параболы
1°. Так как и
, то из уравнения (42) следует, что
, т.е. все точки параболы принадлежат полуплоскости
.
2°. Выясним, симметрична ли парабола относительно начала координат и осей координат.
Пусть , т.е. парабола симметрична относительно оси
. Ось симметрии параболы называется осью параболы.
Заметим, что и
, следовательно,
и
, т.е. парабола не симметрична относительно начала координат и оси
.
3°. Найдем точки пересечения параболы с осями координат.
Таким образом, парабола имеет одну вершину.
4°. Зависимость формы параболы от ее фокального параметра.
Чем больше фокальный параметр , тем сильнее парабола вытягивается вдоль оси
.
5°. Чтобы изобразить параболу, найдем координаты четырех вспомогательных точек, принадлежащих параболе.
.
Построение изображения параболы по ее каноническому уравнению выполняется в следующей последовательности: выбираем на плоскости прямоугольную декартову систему координат ; строим точки
; проводим через точки
и
параболу; строим фокус
и директрису
(рис. 96).
![]() |
Эксцентриситетом параболы называется число единица.
Из определения параболы следует, что
, т.е. для параболы также имеет место директориальное свойство.
Директриса параболы также никогда не пересекает параболу.
Если построить параболы и
в той же канонической системе координат
, то они будут расположены так (рис. 97):
Заметим, что на ось параболы в ее каноническом уравнении указывает та переменная, которая стоит в первой степени.