Задания для самостоятельной работы. 1. Приведите к каноническому виду уравнение параболы: а) ; г) ; б) ; д) ; в) ; е)
1. Приведите к каноническому виду уравнение параболы:
а) ![]() | г) ![]() |
б) ![]() | д) ![]() |
в) ![]() | е) ![]() |
2. Дано каноническое уравнение параболы. Найдите фокальный параметр параболы, координаты фокуса и уравнение директрисы:
а) ![]() | в) ![]() |
б) ![]() | г) ![]() |
3. Изобразите параболу, ее фокус и директрису:
а) ![]() | в) ![]() |
б) ![]() | г) ![]() |
Лекция 15
Понятие о классификации линий второго порядка.
Приведение общего уравнения линии второго
Порядка к каноническому виду
Понятие о классификации линий второго порядка
Уравнение
, (43)
где не равны нулю одновременно, называется общим уравнением линии второго порядка.
Пусть линия второго порядка в прямоугольной декартовой системе координат задана уравнением (43).
Идея классификации линий второго порядка заключается в том, чтобы путем надлежащего выбора новой прямоугольной декартовой системы координат упростить уравнение линии, а затем по этому уравнению установить, к какому классу принадлежит линия.
Справедлива
Теорема 1 (основная теорема о линиях второго порядка). Существует девять типов линий второго порядка: эллипс; гипербола; парабола; мнимый эллипс; пара пересекающихся прямых; пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке; пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых; пара совпавших прямых.
В следующей таблице приведены канонические уравнения этих линий:
Название линии второго порядка | Каноническое уравнение |
1. Эллипс 2. Гипербола 3. Парабола 4. Мнимый эллипс 5. Пара пересекающихся прямых 6. Пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке 7. Пара параллельных прямых 8. Пара мнимых параллельных прямых 9. Пара совпавших прямых | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Задания для самостоятельной работы
1. Определите тип линии второго порядка по ее каноническому уравнению:
а) ; г)
;
б) ; д)
;
в) ; е)
.
2. Определите тип линии второго порядка:
а) ; г)
;
б) ; д)
;
в) ; е)
.
3. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип линии второго порядка:
а) ; в)
;
б) ; г)
.
4. Определите, какую линию второго порядка задает уравнение:
а) ; г)
;
б) ; д)
;
в) ; е)
.
Приведение общего уравнения линии второго порядка
К каноническому виду
По виду общего уравнения трудно определить тип линии второго порядка. Для этого общее уравнение линии второго порядка надо привести к каноническому виду. Это делают с помощью преобразования прямоугольной декартовой системы координат , в которой дано общее уравнение (43) линии. С помощью поворота координатных векторов и переноса начала получают каноническую систему координат
, в которой уравнение данной линии второго порядка имеет канонический вид.
Итак, пусть линия второго порядка задана в системе
общим уравнением
.
Если , то приведение общего уравнения линии
к каноническому виду происходит в два этапа:
I этап. С помощью поворота координатных векторов освобождаются от члена, содержащего произведение . Угол поворота
находят следующим образом:
Тогда координаты координатных векторов и
в системе
будут находиться так:
. (44)
Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :
(45)
Подставляем и
из формул (45) в общее уравнение линии
. После преобразований исчезает член
. Получаем уравнение линии
в промежуточной системе координат
.
II этап. Выделяем полные квадраты при и
и совершаем перенос начала
в точку
по формулам
(46)
Координаты точки
вычислены в системе
.
Подставляем из формул (46) в уравнение линии
в системе
. После преобразований получаем каноническое уравнение линии
в новой системе
и определяем ее вид.
Строим старую систему координат , промежуточную
, новую
и линию
по ее каноническому уравнению в системе
.
Замечание 1. При переходе ко II этапу возможны следующие случаи:
1.Уравнение содержит переменные и
во второй степени. Тогда выделяются полные квадраты при
и
. В результате может получиться каноническое уравнение эллипса, гиперболы, мнимого эллипса, пары пересекающихся прямых или пары мнимых пересекающихся прямых.
2. Уравнение содержит только одну переменную во второй степени, а другую – только в первой. Тогда после выделения полного квадрата при той переменной, которая стоит во второй степени, с помощью переноса начала освобождаются от свободного члена. В результате получится каноническое уравнение параболы.
3. Уравнение содержит только одну переменную и в первой, и во второй степени, другая переменная отсутствует. Выделяем полный квадрат и получаем каноническое уравнение пары параллельных прямых, пары мнимых параллельных прямых или пары совпавших прямых.
Замечание 2. Если в общем уравнении линии
, то приведение общего уравнения к каноническому виду начинают сразу со II этапа.
Рассмотрим конкретный пример.
Задача. Привести общее уравнение линии
к каноническому виду, определить вид линии
и построить ее изображение.
Решение. I этап. Из общего уравнения линии находим
.
Найдем угол поворота координатных осей:
Находим координаты координатных векторов и
в системе координат
:
Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :
Подставляем и
из полученных формул в общее уравнение линии
:
После приведения подобных получаем уравнение линии в системе координат
:
.
II этап. Найдем формулы переноса начала координат. Для этого выделим полные квадраты при и
:
Положим
тогда получаем формулы переноса начала:
При этом точка переходит в точку
, координаты которой найдены в системе
.
Линия в системе
будет иметь уравнение
.
Приведем это уравнение к каноническому виду:
.
Следовательно, - гипербола с мнимой осью
.
Последовательность построения изображения гиперболы такова:
а) Строим старую систему координат .
б) Строим промежуточную систему координат . При этом чтобы точно совершить поворот координатных векторов
и
на угол
, построим сначала вспомогательные векторы
и
, которые будут коллинеарны векторам
и
соответственно (на чертеже эти векторы не показаны, а построены лишь их концы – точки с координатами
и
(рис. 98). Тогда единичные векторы
и
будут сонаправлены с векторами
и
, а оси координат
и
пройдут через точку
и точки
и
соответственно (рис. 98).
в) Строим новую систему координат .
г) Строим линию
по ее каноническому уравнению в системе координат
(рис. 99).
![]() |