Числовая последовательность
Если каждому натуральному n из множества натуральных чисел по некоторому правилу поставить в соответствие действительное число xn, то множество пронумерованных чисел
x1, x2, x3, …, xn, … (1)
называется числовой последовательностью.
При этом числа xi (i = 1, 2, 3, …, n, …) называются членами последовательности, символ xn — общим членом, а число n является его номером.
Например, общий член xn задается некоторой формулой xn = n2. Полагая поочередно n = 1, 2, 3, …, получим числовую последовательность 1, 4, 9, … .
Предел и непрерывность функции
Пусть X и Y — некоторые множества, и пусть каждому поставлен в соответствие по определенному правилу f единственный элемент
. Тогда говорят, что на множестве X задана функция одной переменной со значениями в множестве Y. Обозначение: y = f(x). В этом случае X — область определения функции. Обозначение: D(f).
Всякий интервал, содержащий точку x0, называется окрестностью точки x0.
Пусть . Интервал (x0 –
; x0 +
) называется
-окрестностью точки x0.
Определение предела функции по Коши. Пусть функция y = f(x) определена в -окрестности точки x0 за исключением, быть может, точки x0. Тогда, если для любого
, сколь угодно малым бы оно ни было, существует такое
, что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
, то число B называется пределом функции в точке x0. Обозначение:
.
Число В называется пределом функции f(x) в бесконечности, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа найдется такое
, что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
. Обозначение:
.
Если для всех и
выполняется неравенство
, то
. Если для всех
и
выполняется неравенство
, то
.
Рассмотрим ,
(
). Если существует предел функции при х, стремящемся к х0, то он называется левым (правым) пределом функции в точке х0. Обозначение:
.
Факт существования в точке х0 предела функции у = f(x) равносилен факту существования в этой точке равных между собой односторонних пределов .
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х0, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение
функции (рис. 10).
![]() |
Рис. 10 |
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х0, если предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т. е. .
Функция f(x) называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.
Элементарные функции
Основными элементарными функциями называют следующие функции:
1. Постоянную функцию у = с, с — const.
2. Степенную функцию у = х ,
— любое действительное число.
3. Показательную функцию у = ах (0 < a 1).
4. Логарифмическую функцию .
5. Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x,
y = ctg x.
6. Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x,
y = arctg x, y = arcctg x.
Функцию, аналитическое выражение которой можно получить при помощи конечного числа арифметических операций над основными элементарными функциями, а также при помощи операции взятия функции от функции, назовем элементарной функцией.
Пример.
Функции f(x) = arcsin(log5(x2 + 1)), f(x) = , f(x) =
являются элементарными.
Областью определения D(y) функции y = f(x) называется множество значений аргумента х, для каждого из которых существует вполне определенное числовое значение функции.
Теорема. Если элементарной функции y = f(x), то
= f(x0).
Например, .
Теоремы о пределах
1. Функция y = f(x) в точке х0 не может иметь более одного предела.
2. Предел постоянной величины равен самой этой величине, т. е. .
3. Пусть f1(x) и f2(x) — функции, для которых существуют пределы при :
,
.
Тогда:
3.1. Существует и предел алгебраической суммы этих функций, причем предел этой алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов, т. е.
= А
В.
3.2. Существует и предел произведения этих функций, причем предел этого произведения равен произведению этих пределов:
·
= А·В.
3.3. Если В 0, то существует и предел частного этих функций, причем предел этого частного равен частному пределов, т. е.
Формулировка для случая, когда , аналогична.
Функция g(x) называется бесконечно малой функцией при (
), если
.
Функция f(x) называется бесконечно большой функцией при (
), если для любого Р > 0 найдется положительное число
, что для всех
, удовлетворяющих условию
(
), выполняется неравенство
. Обозначение:
(
).
Если f(x) при
и f(x) принимает только положительные (отрицательные) значения, то пишут
.
Теорема (о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями)
Если g(x) — бесконечно малая функция при (
), то
— бесконечно большая функция при
(
).
Если f(x) — бесконечно большая функция при (
), то
— бесконечно малая функция при
(
).
Замечательные пределы
— первый замечательный предел.
— второй замечательный предел (
).
Вычисление пределов вида (2)
Для вычисления пределов вида (2) вычисляем пределы ,
. Могут встретиться следующие ситуации:
1. Если А, В — конечные числа, тогда С = АВ.
2. Если А = 1, В = , тогда для вычисления предела (2) применяют второй замечательный предел.
Во всех остальных случаях задачу вычисления предела (2) решают непосредственно.