Краткие теоретические сведения. Понятие неопределенного интеграла
Понятие неопределенного интеграла
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке Х, если для любого элемента 
выполняется равенство F'(x) = f(x).
Если F(x) — одна из первообразных для функции f(x) на промежутке Х, то всякую другую первообразную Ф(х) на промежутке Х можно представить в виде Ф(х) = F(x) + с, где с — постоянная величина.
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех ее первообразных, т. е. 
.
При этом f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение, 
знак неопределенного интеграла, х —
переменная интегрирования.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Свойства неопределенного интеграла:
1. 
2. 
3. 
4. 
где с — постоянная величина.
5. 
.
6. Если 
= F(x) + c и 
— дифференцируемая функция, то 
= F(и) + c.
Таблица основных неопределенных интегралов:
1. 
2. 
3. 
4. 
.
5. 
.
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Интегрирование методом замены переменной и по частям
Метод замены переменной проводится по формуле
где х = 
— некоторая дифференцируемая функция.
Если и = и(х), v = v(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям
Интегрирование простейших рациональных дробей
Интегрирование проводят в зависимости от типа простейшей рациональной дроби.
1. 
(А, а — постоянные действительные числа) — простейшая рациональная дробь первого типа.
Пример. 
= 
= 
= 
= = 
= 
.
2. 
(А, а, т — постоянные числа, 
, 
) — простейшая рациональная дробь второго типа.
Пример. 
= 
= 
= 
=
= 
= 
= 
.
3. 
(М, N, p, q — постоянные числа, М, N, p, q 
, х2 + рх + q не имеет действительных корней) — простейшая рациональная дробь третьего типа.
Пример. 
= 
+ 
=
= 
dx + 
= 
dx – 
·
· 
+ 5 · 
= 
=
= 
– = – 
=
=[d(x + 2) = (x + 2)'dx = dx] = – 
= ·
· – arctg(x + 2) + c.
4. 
(М, N, р, q — постоянные числа, М, N, р, q , 
, ; х2 + рх + q не имеет действительных корней) — простейшая рациональная дробь четвертого типа.
Интеграл от этой дроби считается с помощью рекуррентных формул, позволяющих уменьшить число т до 1.
Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей
Рациональная дробь 
(Qn(x), Qm(x) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно) называется правильной, если 
, и неправильной в противном случае (если 
).
Для интегрирования правильной дроби ее предварительно раскладывают на простейшие дроби. Для этого многочлен Qn(x) разлагают на неприводимые множители. Общий вид такого разложения следующий:
= 
+ 
+ … +
+ 
+ … + 
+ … + 
+ 
+
+ 
+…+ 
,
где А1, А2, …, Аk, В1, В2, …, Вr , М1, М2, …, Мs , N1, N2, …, Ns — некоторые неопределенные действительные коэффициенты, которые следует еще определить.
Интегрирование неправильной рациональной дроби сводят к интегрированию правильной рациональной дроби выделением из первой целой части.