Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов 
и 
(обозначается 
) называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними:
.
Можно дать и другое определение. Т.к. произведение 
представляет собой проекцию вектора на направление вектора (обозначается 
), а произведение 
является проекцией на направление (обозначается 
), тогда:
= 
.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение длины одного вектора и проекции другого вектора на направление первого.
Из первого определения скалярного произведения следует формула для нахождения угла между векторами:
.
Свойства скалярного произведения
1) Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0 (т.к. 
) и наоборот, если скалярное произведение двух векторов равно 0, то они перпендикулярны или, как часто говорят, ортогональны.
2) Скалярное произведение векторов > 0, если они образуют острый угол ( 
), скалярное произведение < 0, если они образуют тупой угол ( 
).
3) 
.
4) 
.
5) 
.
6) 
или 
.
Векторное произведение векторов
Векторным произведением векторов и называется вектор, обозначаемый 
или 
и удовлетворяющий следующим условиям:
1) 
;
2) ортогонален (перпендикулярен) и , и ;
|
3) Вектора , и образуют правую тройку, т.е. кратчайший поворот от вектора к вектору и затем к вектору 
совершается против часовой стрелки.
Свойства векторного произведения
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
5) Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма или удвоенной площади треугольника, построенного на векторах, входящих в векторное произведение.
Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением векторов 
, обозначаемым 
, называется скалярное произведение векторного произведения векторов и на вектор :
= 
.
Учитывая данные ранее определения скалярного и векторного произведений, можно выписать и более подробную формулу для вычисления смешанного произведения векторов:
.
|
Если вектора привести к общему началу и построить на них параллелепипед (вектора и совпадают со сторонами основания, а вектор с боковым ребром) или пирамиду, то модуль смешанного произведения векторов будет равен объему параллелепипеда 
или шести объемам пирамиды 
:
или 
.
Напомним, что 
, где 
, высота H определяется как проекция бокового ребра на направление нормали к основанию, т.к. векторное произведение совпадает с направлением нормали, то 
.
Если вектора лежат в одной плоскости (компланарны), то ясно, что на них нельзя построить ни пирамиду, ни параллелепипед, поэтому смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.