Свойства абсолютных величин
С абсолютными величинами чисел в математическим анализе приходиться часто встречаться Мы Напомним относящееся сюда определения и теоремы и сделаем ряд упражнений.
1. Абсолютная величина обозначается символом
.
Пусть —действительное число. Если оно положительно или равно нулю
, то его абсолютной величиной называется оно само, а если оно отрицательно
, то его абсолютной величиной называется число
.
Итак, если , то
; если
, то
.
Чтобы перейти к абсолютной величине числа, имеющего в цифровой записи знак минус, надо этот знак отбросить.
Если , то
; если
, то
.
Если , то
.
2. Если , то это означает, что
удовлетворяет неравенствам (фиг.1.5);
Фиг.1.5 |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Пример1. Если , то имеют место неравенства
.
Пример 2. Если , то
удовлетворяет неравенствам
(фиг.1.6)
![]() |
![]() |
Фиг.1.6 |
![]() |
![]() |
Задача1.1
Определить числовую величину выражения при
.
Решение. При
Задача1.2
Определить числовую величину выражения при
.
Решение. При имеем
Задача1.3
(для самостоятельного решения).Определить при числовую величину выражения
.
Ответ.
Задача1.4
(для самостоятельного решения).Найти числовую величину выражения при:
1) ;
2) ;
3) .
Ответ
1) 5;
2) 3;
3) 8.
Задача1.5
Определить, при каких значениях будет справедливо неравенство
.
Решение. Согласно формуле (1.1) данное неравенство может быть записано так: . К каждой части этих неравенств прибавим по 3 и получим
, откуда следует, что
.
Заключение: неравенство выполняется для всех значений
из интервала (1,5).
Задача1.6
Определить, при каких значениях выполняется неравенство
.
Решение. Поступая так де, как и предыдущей задаче, получаем, что , а отсюда, прибавляя
к каждой части этих неравенств, имеем
.
Заключение: неравенство выполняется для всех значений
из интервала
.
Задача1.7
(для самостоятельного решения).Определить, при каких выполняется неравенства:
1) ;
2) ;
3) .
Ответ.
1) ;
2) ;
3) и
.
Указание к третьему примеру: из того, что , следует, что
и
. В нашем случае из того, что
, заключаем, что
и
; отсюда и следует указанный ответ.
Задача1.8
При каких значениях корень
будет иметь действительное значения?
Решение. Корень будет иметь действительное значение, если подкоренное выражение не является отрицательным, т. е. когда
, а
.
Многие совершают грубую ошибку, делая на основании неравенства заключение, что
, т.е.
и
. В действительности же верно только то, что
, а неравенство
является в данном случае ошибочным. Правильным решением неравенства
являются
и
, т.е.
, или
, ибо для всех значений
из интервала
выполняется неравенство
. Если же принять, что
, то числа, удовлетворяющие этому неравенству, будучи возведены в квадрат, дадут числа больше, чем 9 (например,
и
).
Итак, решением неравенства является
, или
.
Задача1.9
(для самостоятельного решения). При каких значениях корень
будет иметь действительное значение?
Ответ. и
,т.е.
имеет действительные значения для значений
, удовлетворяющих неравенствам
и
.