Смешанное произведение векторов
Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, bи сназывается результат скалярного умножения векторного произведения [ab] на вектор с.
Обозначение: abc= [ab]c.
Свойства смешанного произведения.
1) Смешанное произведение [ab]c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,bи скомпланарны, то [ab]c = 0.
Доказательство.
а) Если a,b и с компланарны, то вектор [ab] ортогонален плоскости векторов аи b, и, следовательно, [ab] c. Поэтому [ab]c = 0.
в) Если a,b,cне компланарны, [ab]c = |[ab]||c| = S·|c|cosφ, где φ – угол между с и [ab]. Тогда |c|cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ab]c =
V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ab]. Утверждение доказано.
Следствие. [ab]c = a[bc].
Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся : abc.
2) Если a = {Xa, Ya, Za}, b= {Xb, Yb, Zb}, c = {Xc, Yc, Zc}, то
abc = .
Доказательство. Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем:
[ab]c = (YaZb – YbZa)Xc + (XbZa – XaZb)Yc + (XaYb – XbYa)Zc = .
Пример 1. Найдем смешанное произведение векторов a = {-3, 2, -1}, b = {2, 1, 0}, c = {-1, 3, -1}. Для этого вычислим определитель, составленный из их коодинат:
следовательно, векторы компланарны.
Пример 2. Найдем объем пирамиды с вершинами в точках А(0, -3, -1), В(3, 3, 2),
С(1, 0, -3) и D(2, -1, 1).
Отметим, что объем пирамиды ABCD в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, ACи AD. Найдем координаты этих векторов:
AB = {3,6,3}, AC = {1,3,-2}, AD = {2,2,2}. Тогда AB AC AD =
Cледовательно, объем пирамиды равен 18:3 =6.
Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.
Определение 7.1. Уравнение
Ф(х,у) = 0 (7.1)
называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.
Пример.
(х – а)² + (y – b)² = R² - уравнение окружности радиуса R с центром в точке (a,b).
Замечание. Часто удобно использовать параметрическиеуравнения линии:
, (7.2)
где функции и
непрерывны по параметру t.
Прямая на плоскости.
Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.
Пусть прямая проходит через точку М0 (x0,y0) перпендикулярно вектору n = {A,B}. Тогда вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению
А(х – х0) + В(у – у0) = 0 - (7.3)
уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.
Преобразуем уравнение (7.3) к виду:
Ах + Ву + (-Ах0 – Ву0) = 0.
Обозначив -Ах0 – Ву0 = С, получим общее уравнение прямой:
Ах + Ву + С = 0. (7.4)
Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М0 (x0,y0) параллельно вектору q = {l,m}. Так как вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению
, (7.5)
называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2), ее направляющим вектором можно считать , и из уравнения (7.5) следует:
- (7.6)
уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Пример.
Составим уравнение прямой, проходящей через точки М(1,2) и N(5,-3). Уравнение (7.6) примет вид:
- общее уравнение данной прямой.
Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения (7.5),
можно преобразовать это уравнение к виду:
x = x0 + lt, y = y0 + mt - (7.7)
параметрические уравнения прямой.
Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение
у l прямой в виде:
у = kx + b - (7.8)
b l1 уравнение прямой с угловым коэффициентом.
α α Действительно, все точки прямой l1, параллельной l и проходящей
х через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а
ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них
на постоянную величину b.