Непрерывность функции. Основные теоремы о непрерывных функциях
Понятие непрерывности функции является одним из основополагающих понятий в математическом анализе.
Пусть функция определенав некоторой окрестности точки
.
Определение
Функция называется непрерывной в точке
, если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
![]() | (4.7.1) |
Так как , то это равенство можно переписать в следующей форме:
.
Определение непрерывности функции можно сформулировать как «на языке последовательностей», так и «на языке e–d » в соответствии с двумя определениями предела функции в точке. Приведем здесь второе из них.
Определение
Функция называется непрерывной в точке
, если для любого
существует такое
, что при всех
, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
.
Определение
Функция называется непрерывной справа (слева) в точке
, если правый (левый) предел этой функции в точке
равен значению функции в этой точке.
Символическая запись непрерывности функции справа и соответственно слева:
![]() ![]() | (4.7.2а) |
![]() ![]() | (4.7.2б) |
Если функция непрерывна в точке
слева и справа, то она непрерывна в этой точке. В самом деле, функция
имеет предел в точке
, который равен ее значению в этой точке, что и означает непрерывность функции при
.
Для практического использования полезно сформулировать еще одно определение непрерывности функции.
Определение
Назовем разность приращением аргумента в точке а, разность
– приращением функции в точке
, обусловленным приращением аргумента
. Таким образом,
,
. Так как
, то равенство (4.7.1) можно переписать в другой форме:
![]() | (4.7.3) |
Теорема
Пусть функции и
непрерывны в точке
. Тогда функции
,
и
также непрерывны в точке
(частное при условии, что
).
Теорема
Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0)>0, то существует такая окрестность точки x0, в которой f(x)>0.
Теорема
Если функция y=f(u) непрерывна в точке u0, а функция u=j(x) непрерывна в точке u0=j(x0), то сложная функция y=f[j(x)] непрерывна в точке x0, или
![]() | (4.7.4) |
Точки разрыва функций и их классификация
Определение
Точками разрыва функции называются точки, в которых функция не определена или не является непрерывной.
Точки разрыва классифицируются следующим образом.
Устранимый разрыв
Точка называется точкой устранимого разрыва функции
, если предел функции в этой точке существует, но в точке
функция либо не определена, либо ее значение
не равно пределу в этой точке.
Пример
Функция в точке
, как известно, имеет предел, равный единице. Однако в самой точке
эта функция не определена. Этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней:
Доопределенная таким образом функция является непрерывной на всей числовой оси.
Разрыв 1–го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода функции
, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:
.
Типичным примером является функция Для нее точка
является точкой разрыва первого рода.
Разрыв 2–го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода функции
, если в этой точке функция
не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
1. Типичным примером является функция . Точка
является точкой разрыва 2–го рода, так как
,
2. Для функции точка
является точкой разрыва 2–го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.
Кусочно–непрерывные функции
Функция называется кусочно–непрерывной на отрезке
, если она непрерывна во всех внутренних точках
, за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1–го рода и, кроме того, односторонние пределы в точках
и
.
Упражнения
Вычислить указанные пределы:
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() |
56. Определить точки разрыва функций:
,
.
57. Найти точки разрыва функции и построить график этой функции.
58. Между следующими бесконечно малыми (при ) величинами
,
,
,
,
,
выбрать бесконечно малые одного порядка с бесконечно малой
, а также высшего и низшего порядка, чем
.
59. Среди указанных бесконечно малых (при ) величин найти бесконечно малые, равносильные бесконечно малой
:
,
,
,
,
,
.
60. Убедиться в том, что при бесконечно малые величины
и
будут одного порядка малости. Будут ли они эквивалентны?
Глава 5. Производная