Производные высших порядков
Первая производная функции сама является функцией, которая также может иметь производную.
Определение
Производной n–го порядка называется производная от производной (n–1)–го порядка.
Обозначение производных: – второго порядка (или вторая производная),
– третьего порядка (или третья производная).
Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, или
и т.д.
5.6. Основные теоремы дифференциального исчисления – теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа
Теорема
Ферма. Пусть функция определена на интервале
и имеет наибольшее (наименьшее) значение в точке
. Тогда, если в точке
существует производная этой функции, то она равна нулю, т.е.
.
Геометрический смысл теоремы Ферма: если в точке дифференцируемая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, то в точке
касательная к графику этой функции параллельна оси
(Рис. 5.6.1).
Рис. 5.6.1
Заметим, что Теорема неверна, если функция рассматривается на отрезке : в этом случае она может принимать наибольшее и ли наименьшее значение на концах отрезка, где производная не равна нулю.
Теорема (Ролля)
Пусть функция непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
, причем
. Тогда существует точка
, в которой
.
Геометрический смысл теоремы Ролля: если функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая внутри ее, на концах этого отрезка принимает одинаковые значения, то хотя бы в одной внутренней точке этого отрезка касательная к графику функции параллельна оси (Рис. 5.6.2).
Рис. 5.6.2
Теорема (Лагранжа)
Пусть функция непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
. Тогда существует такая точка
, что справедлива формула
![]() | (5.6.1) |
Теорема Лагранжа имеет геометрический смысл (рис. 5.6.3). Секущая, проходящая через точки и
, имеет угловой коэффициент, равный
, а
– угловой коэффициент касательной к графику функции в точке
. Теорема Лагранжа утверждает, что существует хотя бы одна точка интервала
, где касательная к графику функции параллельна секущей
. Приведенные теоремы позволяют сформулировать и обосновать теоремы Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
Правило Лопиталя
Определение
Будем говорить, что отношение двух функций при
есть неопределенность вида
, если
.
Рис. 5.6.3
Раскрыть эту неопределенность означает вычислить предел , если он существует.
Теорема (Лопиталя)
Пусть функции и
определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки
, за исключением, быть может, самой точки
. Кроме того, пусть также
, причем
в указанной окрестности точки
. Тогда если существует предел отношения Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. (конечный или бесконечный), существует и предел
, причем справедлива формула:
![]() | (5.7.1) |
Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.
Замечание 1
Правило Лопиталя можно применить повторно, если и
удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции
и
.
Замечание 2
Теорема остается верной и в случае, когда (
).
Пример
Здесь мы дважды последовательно применили правило Лопиталя, поскольку два раза имели дело с неопределенностью вида .
Неопределенность вида
Определение
Будем называть отношение двух функций при
неопределенностью вида
, если
,
или
. В этом случае правило Лопиталя остается справедливым при замене условия
на условие
.
Пример
Другие виды неопределенностей
Неопределенности вида и
можно свести к неопределенностям вида
и
с помощью несложных алгебраических преобразований.
Пример
Найти предел .
Решение
Здесь имеем неопределенность вида . Преобразуем функцию под знаком предела:
, в результате имеем неопределенность вида
при
. Теперь, применяя правило Лопиталя, получаем
.
Неопределенности вида , имеющие место при рассмотрении пределов функций
, сводятся к неопределенностям вида
с помощью тождественного преобразования
Пример
Найти предел .
Решение
Это неопределенность вида ; используя предыдущую формулу, имеем с учетом только что решенного примера
.