Пример расчета гибкого сжато-изогнутого стержня
Рис. 6.6. Сжато-изогнутый стержень
|
Условие задачи
Стержень, показанный на рис. 6.6, сжимается силой F = 300 кН и изгибается поперечной нагрузкой q = 5 кН/м. Сечение стержня состоит из двух швеллеров, выполненных из стали С235 с 
. Требуется подобрать номер швеллера так, чтобы удовлетворялись условия прочности и жесткости по деформированному состоянию, а также условие устойчивости в плоскости наименьшей жесткости. Допускаемый прогиб примем равным 
.
Решение
Построим эпюру изгибающих моментов от поперечной нагрузки (рис. 6.7, а) и подберем сечение расчетом по недеформированному состоянию без учета продольной силы.
, откуда 
.
Выберем из сортамента прокатной стали швеллер № 27, у которого 
, 
, и проверим прочность с учетом продольной силы:
.
Рис. 6.7. Эпюры изгибающих моментов:
а – от поперечной нагрузки;
б – от единичной силы, соответствующей
прогибу в середине пролета
|
Увеличим размер швеллера. Для швеллера № 30 с такими характеристиками: 
, 
, 
, 
– условие прочности по недеформированному состоянию выполняется:
.
Проверим прочность по деформированному состоянию. Найдем максимальный прогиб в середине пролета, перемножая эпюры М от поперечной нагрузки и М1 от единичной силы (рис. 6.7, б):
.
Найдем критическую силу по формуле Эйлера (6.2). Момент инерции принимаем равным 
, что соответствует изгибу в плоскости действия поперечной нагрузки (плоскости максимальной жесткости)
.
.
Принимая коэффициент запаса прочности n = 1,5, проверим прочность по условию прочности по деформированному состоянию (6.11).
.
Поскольку условие прочности по деформированному состоянию для швеллера № 30 не выполняется, проверим прочность по условию (6.11) для швеллера № 33, у которого 
, 
, 
, 
, 
. Прогиб
.
Критическая сила
.
Тогда условие прочности (6.11) выполняется:
.
Проверим жесткость стержня расчетом по деформированному состоянию по формуле (6.12). Примем 
и допускаемый прогиб 
. Тогда условие жесткости выполняется:
.
Осталось удовлетворить третьему условию – условию устойчивости в плоскости наименьшей жесткости. Найдем минимальный радиус инерции сечения из двух швеллеров:
.
Если швеллеры расположены вплотную друг к другу, то 
. Тогда
и
.
Гибкость стержней больше, чем 200, не допускается. Для сечения из двух швеллеров можно уменьшить гибкость, не увеличивая размер швеллера. Для этого следует раздвинуть швеллеры. Величину а нужно подобрать так, чтобы гибкость стержня была меньше 200 и условие устойчивости (6.6) выполнялось. В рассматриваемом примере такой величиной будет 
, которой соответствует расстояние между стенками швеллеров 
. Для стержня с таким сечением
;
.
Этой гибкости соответствует 
, и условие устойчивости выполняется:
.
Таким образом, всем условиям (прочности, жесткости и устойчивости) удовлетворяет сечение из двух швеллеров № 33, расстояние между стенками которых равно 5,60 см.