Общее уравнение кривой. Кривые второго порядка

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

если B=0,то кривые наз-ся центрально симметричными.

Ур-е имеет вид:

Рассматривается произведение А×С

· Если ,А×С˃0, то эллипс;

· Если А×С˂0, то гипербола;

· Если А×С=0 , то парабола.

Выделяем полный квадрат уравнения

получим:

или

,

обозначим:

; .

1)Если А×С˃0 , то уравнение задает кривую эллиптического типа. Причем:

- мнимый эллипс.

- точка .

, то имеем - канонический вид эллипса.

2)Если А×С˂0, то уравнение задает кривую гиперболического типа. Причем:

Если , или имеем:
или - канонический вид гиперболы.

Если и учитывая знаки А и С имеем:
- пара пересекающихся прямых(вырожденная гипербола)

3)Если:

С=0 , то общее уравнение задает кривую параболического типа. Выделяя полный квадрат имеем:
.Обозначим: имеем:
- канонический вид параболы.

А=0 , то - кривая параболического типа. Выделяя полный квадрат имеем:
.Обозначим: - имеем:
- канонический вид параболы.

Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух

заданных точек F1 (с;0) и F2 (-с;0), называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная = 2а.

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса,

а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы

эллипса лежат на оси ОХ , при a < b фокусы эллипса лежат на

оси ОY , а при a = b эллипс становится окружностью. Таким

образом, окружность есть частный случай эллипса. Отрезок

F1F2 = 2 с , где , называется фокусным рассто

янием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а

отрезок CD = 2 b – малой осьюэллипса. Число = c / a , e < 1

называется эксцентриситетом эллипса.

Число х= называется директрисой эллипса.

 

 

Уравнение эллипса : + =1, b=

Доказательство. Пусть М(x;y) -- текущая точка эллипса. По определению эллипса F1M+F2M=2a.


Фокусами в выбранной системе координат являются точки F1(-c;0),F2(c;0) . Находим

Тогда по определению эллипса

Учитывая, что b2=a2-c2, имеем равенство x2b2+y2a2=a2b2

 

Наконец, разделив обе части на a2b2 , получим уравнение + =1

Метод Крамера.

x=A-1B= = =

∆ ∆ ∆


Парабола.

 

Параболой называется геометрическое место точек плоскости,

равноудалённых от заданной точки F ( ), называемой

фокусом параболы, и данной прямой х= - , не проходящей

через эту точку и называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы : y 2 = 2 p x .

 

Здесь ось ОХ является осью симметрии параболы.

 

Пусть расстояние между фокусом F и директрисой lпараболы равно p . Тогда в

выбранной системе координат парабола имеет уравнение y2=2px

Доказательство. В выбранной системе координат фокусом параболы служит

точка F( ) , а директриса имеет уравнение x= .

Пусть M(x;y) -- текущая точка параболы. Тогда находим

Расстоянием от точки M до директрисы l служит длина перпендикуляра MK,

опущенного на директрису из точки M. MK= x+ .Тогда по определению параболы

MK=FM , то есть

→ →

y2=2px

Уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0

(x )

A(x

Ax+By+Cz=A

Ax+By+Cz+D=0

 

1.Если D=0,то плоскость имеет ур-е Ax+By+Cz=0 и проходит через начало координат.

2.Если А=0,то By+Cz+D=0→плоскость параллельна оси Ох.

3.Если А=0 и D=0,то By+Cz=0→плоскость проходит через Ох.

4.Если А=0 и В=0,то Cz+D=0→плоскость параллельна XOy.

5.Если А=0,В=0,D=0,то плоскость совпадает с XOy.

 

Уравнение плоскости в отрезках на осях:

(a;0;0) (0;b;0) (0;0;c)

Ax+By+Cz+D=0

Aa+D=0 Bb+D=0 Cc+D=0

a= b= c=

 

Свойства определителей.

1.При перестановке местами 2х параллельных строк или столбцов определитель

меняет знак.

ad-cb= - (cb- ad)

2.Определитель, который содержит 2 одинаковых строки или столбца, =0

ab-ab=0

3.Если определитель содержит 0ую строку или столбец, то он=0.

4.Если в определителе каждый элемент строки или столбца умножить на одно и

то же число, то получится определитель, равный исходному. умноженному на это

число.

kad-kbc=k(ad-bc)

k(ad-bc)=k(ad-bc)

5.Если в определителе строка или столбец представлен в виде суммы, то этот

определитель равен сумме 2х определителей. В 1ом берется 1е слагаемое, а во

2ом – 2е.

=

(a+p)d-(b+s)c=ad-bc+pd-cs

ad+pd-bc-cs=ad-bc+pd-cs

6.Если в определителе к строке или столбцу прибавить др. строку или столбец,

умноженный на число, то определитель не изменится.

ad+kcd-bc-kcd=ad-bc

ad-bc=ad-bc

7.Т.Лапласа:Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений

элементов строки или столбца на их алгебраическое дополнение.

8.Сумма произведений элементов какой-либо строки или столбца на алгебраи

ческое дополнение другой строки или столбца =0

9.Определитель произведения 2х матриц равен произведению определителей

этих матриц.

Операции над матрицами.