ЧАСТЬ 3: УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Раздел 2. Линейная алгебра
Курс лекций
и образец решения индивидуального задания
по высшей математике для бакалавров 1-го курса
очной формы обучения
Ростов-на-Дону
УДК 517(07)
Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Раздел 2. Линейная алгебра. Курс лекций и образец решения индивидуального задания по высшей математике для бакалавров 1-го курса очной формы обучения. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 33 с.
Изложен курс лекций по линейным образам (уравнения прямых и плоскостей). Приведен образец индивидуального задания, снабженный подробным решением входящих в него задач.
Предназначены для бакалавров 1-го курса очной формы, проходящих обучение на кафедре высшей математики РГСУ, а также на математических кафедрах других вузов.
Электронная версия находится в библиотеке, ауд. 224.
УДК 517(07)
Составитель: | д-р физ.-мат. наук, проф. И.В. Павлов |
Рецензенты: | канд. физ.-мат. наук, доц. А.М. Можаев, канд. физ.-мат. наук, доц. Г.А. Власков |
Редактор Т.М. Климчук
Доп. план 2011 г., поз. 177
Подписано в печать 12.07.11. Формат 60´84/16. Бумага писчая. Ризограф.
Уч.-изд.л. 2,5. Тираж 50 экз. Заказ 379
Редакционно-издательский центр
Ростовского государственного строительного университета
344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162
© Ростовский государственный
строительный университет, 2011
ЧАСТЬ 3: УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Лекция 10
Параметрические уравнения прямой в
![]() |
Дано: точка и ненулевой вектор
.
Требуется: записать уравнение прямой , проходящей через точку A и вектор
(предполагается, что начало вектора
совмещено с точкой A).
Решение. Рассмотрим на прямой так называемую "текущую" точку
с переменными координатами x, y и z. Наложим на переменные x, y и z такие условия, которые, с одной стороны, дадут возможность точке M попасть в любую точку прямой
и, с другой стороны, не позволят точке M выйти за пределы прямой
. Полученные соотношения и будут представлять собой уравнения прямой
. Имеем цепочку равносильностей (в этой цепочке символ
будет заменять слово "существует"):
вектора
и
линейно зависимы
.
Система уравнений
![]() ![]() | (42) |
называется параметрическими уравнениями прямой в по точке Аи вектору
. Число t является в уравнениях (42) параметром, могущим принимать любое действительное значение. Вектор
(как и любой вектор, параллельный прямой
) называют направляющим вектором прямой
.
Числовая иллюстрация. Запишем уравнения прямой , проходящей через точку
и вектор
. Подставив имеющиеся данные в уравнение (42), получим:
![]() ![]() | (43) |
Применяя уравнения (42) к решению конкретных задач, следует, прежде всего, отдавать себе отчет в двух вещах.
1) Чтобы получать точки прямой , нужно придавать параметру t различные действительные значения. Например, если требуется найти какие-либо три различные точки на прямой (43), то можно сначала выбрать самое простое значение параметра, а именно
, и, подставив в (43), получить исходную точку A. Затем выбираем какие-нибудь еще два значения параметра, к примеру,
и
, и получаем, соответственно, точки
и
, лежащие на прямой
. Если существует произвол в выборе точек, то ясно, что третье значение параметра брать не стоит.
2) Если нужно проверить, лежат ли, например, точки и
на прямой (43), в каждом случае следует подставлять координаты данных точек вместо x, y и z в уравнение (43) и решать полученную систему 3-х уравнений с одним неизвестным. Если система окажется совместной, то точка лежит на прямой, а если несовместной – то не лежит.
Имеем для точки D:
![]() |
Система совместна, и точке D соответствует значение параметра
Для точки E:
![]() |
Система несовместна, следовательно .
Пример 21. Записать уравнения прямой, проходящей через точки и
.
![]() |
Ясно, что направляющий вектор для можно задать так:
.
Пример 22. Записать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно векторам
и
.
![]() |
Принимая во внимание теорему 15, направляющий вектор для можно вычислить следующим образом:
.
Следовательно, .
Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору
![]() |
Дано: точка и ненулевой вектор
.
Требуется: записать уравнение плоскости , проходящей через точку A ортогонально вектору
.
Решение. Рассмотрим на плоскости "текущую" точку
с переменными координатами x, y и z. Наложим на переменные x, y и z условие, которое, с одной стороны, даст возможность точке M попасть в любую точку плоскости
и, с другой стороны, не позволит точке M выйти за пределы этой плоскости. Полученное соотношение и будет представлять собой уравнения плоскости
. Имеем цепочку равносильностей:
.
Уравнение
![]() | (44) |
называется уравнением плоскости по точке Aи нормальному вектору (термины "нормальный вектор", "ортогональный вектор", "перпендикулярный вектор" означают одно и то же).
Числовая иллюстрация. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор
. По формуле (44) имеем:
Уравнение плоскости по точке и двум векторам
![]() |
Дано: точка и два линейно независимых (неколлинеарных) вектора
и
.
Требуется: записать уравнение плоскости, проходящей через точку A и векторы и
(предполагается, что начала векторов
и
совмещены с точкой A).
Решение. Сведем эту задачу к задаче построения уравнения плоскости по точке и нормальному вектору. Очевидно, в качестве нормального вектора можно выбрать вектор . Взяв текущую точку
и применяя рассуждения предыдущего пункта, а также определение 26 и теорему 16, получаем:
Уравнение
![]() | (45) |
называется уравнением плоскости по точке Aи двум векторам и
.
Пример 23. Доказать, что прямые и
параллельны, но не совпадают, и записать уравнение плоскости, проходящей через
и
.
1) Направляющие векторы данных прямых соответственно равны и
. Так как отношения соответствующих координат равны
, то
, то есть эти векторы линейно зависимы (коллинеарны). Значит,
.
2) Теперь чтобы доказать, что и
не совпадают, достаточно проверить, что точка, лежащая на одной прямой, не лежит на другой. Положив
в первой системе, получаем точку
. Покажем, что
. Подставим координаты точки A во вторую систему:
. Эта система противоречива, поэтому
.
![]() |
3) Запишем уравнение плоскости, проходящей через и
. Положив
в параметрических уравнениях прямой
, получим точку
. Возьмем
. По формуле (45) получаем искомое уравнение плоскости:
ЧАСТЬ 3: УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Лекция 11
Пример 24. Доказать, что прямые и
пересекаются, и записать уравнение плоскости, проходящей через
и
.
Прежде всего отметим, что при записи уравнений данных прямых мы обозначили параметры разными буквами. В принципе, это нужно делать всегда для двух различных прямых. Этим правилом пренебрегают, когда в процессе решения эти параметры не входят одновременно в состав какого-либо одного уравнения (см. пример 23). Как мы увидим, при решении данного примера без четкого различения параметров не обойтись.
1) Покажем, что и
пересекаются. Это означает, что должна существовать единственная точка
, координаты которой удовлетворяют одновременно всем уравнениям первой и второй прямой. А это выполняется тогда и только тогда, когда следующая система имеет единственное решение:
.
Единственное решение получено и, подставляя в уравнения прямой
(либо
в уравнения прямой
), получаем точку пересечения
.
![]() |
2) Прямые и
пересекаются в точке
и имеют направляющие векторы
и
. Записывая уравнение плоскости по точке и двум векторам (см. формулу (45)), получаем:
Общее уравнение плоскости в
Определение 27. Уравнение , где A, B, C и D – действительные числа, причем A, B и C не равны нулю одновременно, называется общим уравнением плоскости в пространстве
.
Легко видеть, что изученные ранее уравнения плоскости (44) и (45) после преобразований сводятся к общему уравнению плоскости (это также наглядно видно в примерах 23 и 24).
Теорема 19. Вектор является нормальным вектором плоскости
.
Доказательство. Пусть – точка, лежащая на заданной плоскости, то есть
. Такая точка всегда существует. Например, если
, то можно положить
(случаи
и
рассматриваются аналогично). Пользуясь формулой (44), запишем уравнение плоскости
, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
:
Так как , то
и уравнение плоскости
принимает вид
, то есть исходная плоскость совпадает с плоскостью
. Значит нормальный вектор плоскости
также является нормальным вектором исходной плоскости.
Заметим, что из доказательства теоремы 19 следует более сильный вывод: плоскость, заданная общим уравнением, всегда может быть получена с помощью формулы (44).
Теорема 20. Пусть даны плоскость :
и прямая
.
1) и
пересекаются тогда и только тогда, когда
2) лежит в плоскости
тогда и только тогда, когда
3) параллельна
(но не лежит в плоскости
) тогда и только тогда, когда
Доказательство. Для нахождения общих точек плоскости и прямой
составляем систему уравнений:
Преобразовывая последнее уравнение полученной системы, имеем:
Если , то
и, подставляя это значение t в первые три уравнения системы, находим однозначно определенные координаты x, y и z точки пересечения
и
. Если
и
, то получаем верное равенство
, которое означает, что каждая точка прямой
лежит в плоскости
. Наконец, если
, но
, то левая часть полученного уравнения равна нулю, а правая отлична от нуля. Это говорит о том, что исходная система несовместна, следовательно
и
не имеют общих точек, то есть
.
Геометрический смысл теоремы 20 очень прост. Так как – направляющий вектор прямой
, а
– нормальный вектор плоскости
, то условие пункта 1) теоремы 20 означает, что
, то есть угол между
и
неравен
. А это и означает, что
непараллельна
. Наоборот, в пунктах 2) и 3)
, то есть
параллельна
в широком смысле. Если при этом
(то есть точка
, принадлежащая прямой
, принадлежит также и
), то ясно, что тогда и все точки
принадлежат
. В противном случае
и
не имеют общих точек, то есть
.
Пример 25. Найти точку Q, симметричную точке относительно плоскости
.
![]() |
1) Запишем уравнение прямой , проходящей через точку P перпендикулярно плоскости
. Так как в качестве направляющего вектора
прямой
можно взять нормальный вектор плоскости
, который в силу теоремы 19 равен
, то параметрические уравнения
имеют вид:
.
![]() |
2) Найдем точку пересечения прямой
и плоскости
. Так же, как и в доказательстве теоремы 20, решим систему уравнений:
.
Таким образом, То есть,
.
![]() |
3) Пусть – точка, симметричная точке P относительно плоскости
. Так как
, то
. То есть
.
![]() |
Пример 26. Найти точку Q, симметричную точке относительно прямой
:
.
1) Запишем уравнение плоскости , проходящей через точку P перпендикулярно прямой
. Так как в качестве нормального вектора плоскости
можно взять направляющий вектор прямой
, который равен
, то по формуле (44):
.
![]() |
2) Найдем точку пересечения прямой
и плоскости
. Решим систему уравнений:
Получаем: То есть
.
![]() |
3) Пусть – точка, симметричная точке P относительно прямой
. Так как
, то
. То есть
.
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Пусть заданы две плоскости: и
, причем их нормальные векторы
и
неколлинеарны. Отсюда следует, что эти плоскости пересекаются, то есть система
определяет прямую в пространстве
. Читателю предлагается самостоятельно разобраться, как из этой системы получить параметрические уравнения данной прямой.