ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
(линейные образы)
Задача 1
а) Найти параметрические уравнения прямой 
, проходящей через точку 
параллельно вектору 
.
б) При каком значении параметра t точка 
принадлежит этой прямой?
в) Принадлежит ли точка 
этой прямой?
г) Построить данную прямую.
Задача 2
а) Составить параметрические уравнения прямой , проходящей через точки 
и 
.
б) Используя параметр, найти координаты точек C и D, делящих отрезок 
на три равные части.
Задача 3
Построить плоскости и указать особенности их расположения:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
Задача 4
а) Составить уравнение плоскости 
, которая проходит через точку 
и имеет нормальный вектор 
.
б) Принадлежит ли этой плоскости точка 
?
Задача 5
Cоставить уравнение плоскости , проходящей через три точки 
, 
и 
.
Задача 6
Составить уравнение плоскости , проходящей через точку 
и прямую 
.
Задача 7
Составить уравнение плоскости , проходящей через две параллельные прямые 
и 
.
Задача 8
Составить уравнение плоскости , проходящей через точки 
и 
параллельно вектору 
.
Задача 9
Составить уравнение плоскости , проходящей через две точки 
и 
перпендикулярно плоскости 
.
Задача 10
Составить уравнение плоскости , проходящей через точку 
параллельно плоскости 
.
Задача 11
При каком значении параметра a плоскости 
и 
будут перпендикулярны?
Задача 12
При каких значениях параметров a и b плоскости 
и 
будут параллельны?
Задача 13
Найти точку пересечения прямой 
и плоскости 
.
Задача 14
Найти угол между прямой 
и плоскостью 
.
Задача 15
Найти проекцию точки 
на плоскость 
.
Задача 16
Найти проекцию точки 
на прямую 
.
Задача 17
Дана прямая 
. Найти угловой коэффициент этой прямой и отрезок, отсекаемый ею на оси ординат. Построить эту прямую.
Задача 18
Дана прямая 
и точка 
. Составить уравнение:
а) прямой 
,проходящей через точку A параллельно прямой ;
б) прямой 
, проходящей через точку A перпендикулярно прямой .
Задача 19
Даны вершины 
, 
и 
треугольника ABC. Составить:
а) уравнение стороны BC;
б) уравнение высоты AH;
в) уравнение медианы AD.
Задача 20
Найти точку, симметричную точке 
относительно прямой 
.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Решение задачи 1
а) В данной задаче известны направляющий вектор прямой и точка 
. Используя материал раздела «Параметрические уравнения прямой в 
» (см., в частности, формулу (42) из лекции 10), получаем:
.
б) Подставляя в полученные параметрические уравнения прямой вместо 
, 
и 
соответствующие координаты точки B, имеем:
.
Таким образом, на прямой точке B отвечает параметр 
.
в) Подставим теперь в уравнения прямой вместо , и координаты точки C:
.
Таким образом, не существует единого числа t, при котором координаты точки C удовлетворяли бы всем уравнениям прямой . Следовательно, точка C не принадлежит прямой .
|
, достаточно построить какие-нибудь две точки, принадлежащие этой прямой (в нашем случае, например, точки и ) и затем соединить эти две точки при помощи линейки отрезком прямой:
 |
Решение задачи 2
а)Решение этой задачи повторяет решение примера 21 из лекции 10.
|
Направляющий вектор прямой можно вычислить следующим образом: 
.
б)Сначало проведем одно общее рассуждение. Пусть 
— точка на прямой (заданной уравнениями (42) из лекции 10), соответствующая значению 
параметра, а 
соответствует значению 
. Вычислим расстояние между этими точками. Имеем:
|
.
Таким образом, расстояние между двумя точками на пропорционально разности соответствующих значений параметра.
Вернемся теперь к нашей конкретной прямой. Ясно, что точке 
соответствует значение параметра 
, а точке 
— 
, причем 
. Поэтому для точки 
:
,
а для точки 
:
.
Решение задачи 3
а) Построим плоскость в отрезках на осях (это всегда можно сделать, если уравнение плоскости полное, то есть в нем присутствуют все три переменные и свободный член). Построение проводится так же, как и построение плоскости 
в примере 31 из лекции 12. Найдем точки пересечения , и данной плоскости с координатными осями 
, 
и 
:
,
,
.
|
, принадлежащий искомой плоскости:
 |
б) Построим плоскость (см. также построение плоскости 
в примере 31 из лекции 12):
,
,
.
|
, то есть параллельна ей. Проведя из точек и вверх равные отрезки 
и 
, параллельные оси , а затем соединяя точки и , получаем прямоугольник 
, принадлежащий искомой плоскости:
 |
в) Построим плоскость (см. также построение плоскости 
в примере 31 из лекции 12):
,
,
.
Полученные в первых двух случаях противоречия говорят о том, что наша плоскость не пересекается с осями и , то есть параллельна им. Проведя из точки отрезки 
и 
, параллельные осям и , а затем, соединяя точки и , получаем треугольник , принадлежащий искомой плоскости:
г) Построим плоскость . Ясно, что эта плоскость проходит через начало координат 
и не имеет других точек пересечения с осями координат. Найдем еще две точки, лежащие на данной плоскости:
,
.
Соединяя точки 
, и отрезками прямой, получаем треугольник 
, принадлежащий искомой плоскости:
д) Построим плоскость . Ясно, что эта плоскость проходит через начало координат . Найдем еще две точки, лежащие на данной плоскости:
,
.
Соединяя точки , и отрезками прямой, получаем треугольник , принадлежащий искомой плоскости:
Ясно, что построенная плоскость содержит ось .
Решение задачи 4
а)
|
Решение данной задачи изложено в разделе «Построение плоскости по точке и нормальному вектору» в лекции 10. Применяя формулу (44) из той же лекции, получаем:
.
б)Для того, чтобы выяснить, принадлежит ли точка плоскости , нужно координаты этой точки подставить в полученное в предыдущем пункте уравнение этой плоскости:
Следовательно, точка B не принадлежит плоскости .
|
Введем текущую точку 
плоскости и вычислим векторы 
, 
и 
, принадлежащие данной плоскости:
 |
Ясно, что эти векторы линейно зависимы, следовательно 
.
Раскрывая определитель и упрощая, получаем общее уравнение плоскости :
.
Заметим, что данную задачу можно решить, используя формулу (45) раздела «Уравнение плоскости по точке и двум векторам» (см. лекцию 10). Проделайте это самостоятельно!
Решение задачи 6
Анализируя параметрические уравнения заданной прямой , приходим к выводу, что эта прямая проходит через точку с координатами 
, которую мы обозначим через , и имеет направляющий вектор 
, который мы обозначим через 
. Поместим начало этого вектора в точку . Рассмотрим также вектор 
:
 |
Запишем уравнение плоскости по точке и двум векторам и 
(см. формулу (45) из лекции 10):
.
Решение задачи 7
Эта задача решается также, как пункт 3) примера 23 из лекции 10.
Из параметрических уравнений параллельных прямых и получаем:
1) точку 
;
2) точку 
;
3) общий направляющий вектор 
этих прямых.
|
:
Запишем уравнение плоскости по точке и двум векторам и (см. формулу (45) из лекции 10):
.
Решение задачи 8
Рассмотрим точку , а также векторы 
и 
. Так же, как и в предыдущей задаче, записываем уравнение плоскости по точке и двум векторам и (см. формулу (45) из лекции 10):
.
Решение задачи 9
Из теоремы 19 (см. лекцию 11) вытекает, что 
— нормальный вектор плоскости 
:
 |
|
Ясно, что вектор 
принадлежит плоскости . Рассмотрев точку , а также векторы 
и 
, получим, как и в предыдущих задачах, искомое уравнение плоскости :
.
Решение задачи 10
Ясно, что нормальный вектор плоскости является одновременно нормальным вектором искомой плоскости , то есть по теореме 19 (см. лекцию 11) 
. Используя уравнение плоскости по точке и нормальному вектору (см. формулу (44) из лекции 10), имеем:
.
Чертеж к решению данной задачи рекомендуется построить самостоятельно.
Решение задачи 11
Из теоремы 19 лекции 11 вытекает, что 
— нормальный вектор плоскости , а 
— нормальный вектор плоскости . Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормальные векторы. Итак:
.
Решение задачи 12
Из теоремы 19 лекции 11 вытекает, что 
— нормальный вектор плоскости , а 
— нормальный вектор плоскости . Ясно, что две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы. Итак:
.
Решение задачи 13
Перед решением этой задачи рекомендуется изучить теорему 20 и ее доказательство (см. лекцию 11).
Для нахождения общей точки прямой и плоскости нужно решить систему уравнений, составленную из параметрических уравнений прямой и уравнения плоскости :
.
Таким образом, точка 
есть искомая точка пересечения прямой и плоскости.
Решение задачи 14
Рассмотрим векторы 
(направляющий вектор прямой ) и 
(нормальный вектор плоскости ):
 |
Ясно, что 
— угол между и . Так как 
, где 
— угол между векторами 
и , то
.
Следовательно, 
.
Решение задачи 15
Найдем точку , являющуюся проекцией точки на плоскость .
|
1) Запишем уравнение прямой 
, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости . Так как в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости , который в силу теоремы 19 из лекции 11 равен
, то параметрические уравнения имеют вид: 
.
|
2) Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Так же, как и в доказательстве теоремы 20 из лекции 11, решим систему уравнений:
.
Таким образом, 
То есть, 
— проекция точки на плоскость .
Решение задачи 16
Найдем проекцию точки на прямую .
|
1) Запишем уравнение плоскости , проходящей через точку A перпендикулярно прямой . Так как в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой , который равен 
, то 
(см. формулу (44) из лекции 10).
|
2) Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Решим систему уравнений:
.
Получаем: 
То есть точка 
— проекция точки на прямую .
Решение задачи 17
До решения этой задачи рекомендуется изучить раздел «Уравнения прямой в 
» из лекции 12.
Угловой коэффициент прямой в находится разрешением уравнения этой прямой относительно зависимой переменной :
.
Угловой коэффициент 
— это полученный коэффициент при , то есть 
. Отрезок, отсекаемый прямой на оси , получаем, подставив в наше уравнение 
. Получаем 
, то есть 
.
Построим прямую по двум принадлежащим ей точкам. Одну точку мы уже нашли — это точка 
. Вторую точку лучше всего находить, подставив в уравнение 
. Получаем 
и точку 
. Точки и находятся на координатных осях, поэтому данное построение называется построением прямой в отрезках на осях:
 |
Решение задачи 18
Начнем с нахождения углового коэффициента прямой . Он уже найден в предыдущей задаче: .
а)Так как 
, а угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси , то угловые коэффициенты этих прямых совпадают. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой 
. Воспользуемся формулой (47) из лекции 12, то есть уравнением прямой в , проходящей через точку с угловым коэффициентом 
:
.
б)Пусть 
— угловой коэффициент прямой . Воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых в (см. формулу (52) из лекции 12):
.
Опять применяем формулу (47):
.
Решение задачи 19
а) Для нахождения уравнения стороны BC применим формулу (50) из лекции 12 (уравнение прямой в , проходящей через две точки):
.
Из полученного уравнения находим угловой коэффициент прямой BC: 
. б) Пользуясь условием ортогональности (52) из лекции 12, найдем угловой коэффициент 
высоты 
: 
. Используя формулу (47) из лекции 12, запишем уравнение высоты , проходящей через известную точку 
и имеющей известный угловой коэффициент 
:
.
в)Так как 
— медиана треугольника , то точка делит сторону 
пополам, следовательно, координаты точки равны полусумме соответствующих координат точек и , то есть 
. В очередной раз воспользуемся формулой (50):
.
Решение задачи 20
 |
Напомним, что точка C симметрична точке A относительно прямой , если она лежит на прямой , перпендикулярной к и проходящей через точку A, и расстояние от до равно расстоянию от до (см. рисунок). Прежде чем находить точку C, найдём точку B — проекцию на .Для этого составим уравнение проектирующей прямой . Обозначим через угловой коэффициент прямой , а через — прямой . Так как 
и 
, то 
, а так как 
, то по формуле (47) имеем:
.
Далее, из того, что 
, вытекает, что координаты точки находятся из системы:
.
Теперь мы можем определить координаты точки 
. Действительно, так как точка B делит отрезок AC пополам, то координаты точки B равны полусумме координат точек A и C, то есть:
.