Решения и критерии оценивания заданий части 2
17 |
Решите систему неравенств
Решение.
Решим первое неравенство системы:
;
,
откуда или
.
Решим второе неравенство системы:
;
.
Значит, решения системы неравенств это и
.
Ответ: ;
.
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ | |
Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера или описка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно | |
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям | |
Максимальный балл |
18 |
Расстояние между городами А и В равно 140 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 20 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.
Решение.
Пусть искомое расстояние равно км, а скорость автомобиля равна
км/ч. Получаем систему уравнений
откуда . Получаем
Таким образом, или
. Условию задачи удовлетворяет только
(км).
Ответ: 100 км.
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
Правильно составлена система уравнений, получен верный ответ | |
Правильно составлена система уравнений, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа | |
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | |
Максимальный балл |
19 |
Постройте график функции и определите, при каких значениях
прямая
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.
При функция принимает вид:
,
её график — парабола, из которой выколота точка .
Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда касается параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Прямая
касается параболы тогда и только тогда, когда уравнение
имеет единственный корень, то есть при
,
.
Поэтому ,
или
.
Ответ: ,
или
.
Баллы | Критерии оценивания выполнения задания |
График построен правильно, верно указаны все значения ![]() ![]() | |
График построен правильно, указаны не все верные значения ![]() | |
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям | |
Максимальный балл |
20 |
Окружность, проходящая через вершины и
треугольника
, пересекает стороны
и
в точках
и
соответственно, отличных от
и
. Докажите, что треугольники
и
подобны.
Доказательство.
Четырёхугольник вписан в окружность, поэтому
Значит, треугольники и
подобны по трём углам.
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | |
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | |
Максимальный балл |
21 |
Углы при одном из оснований трапеции равны и
, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 21 и 12. Найдите основания трапеции.
Решение.
Пусть — трапеция с основаниями
и
,
. Обозначим точку пересечения прямых
и
через
, а середины оснований
и
через
и
соответственно. Тогда
. Треугольники
и
прямоугольные, поэтому
то есть точки ,
и
лежат на одной прямой. Значит,
Кроме того, средняя линия трапеции равна . Значит,
откуда ,
.
Ответ: 9 и 33.
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | |
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | |
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | |
Максимальный балл |
22 |
Спортсмен стреляет по пяти мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна . На каждую мишень спортсмен имеет две попытки.
а) Найдите вероятность того, что спортсмен попадёт в первую мишень.
б) Найдите вероятность того, что спортсмен попадёт ровно в четыре мишени.
Решение.
а) Спортсмен не попадёт в первую мишень, если обе его попытки будут неудачными. Вероятность этого равна . Значит, вероятность того, что он попадёт в первую мишень, равна
.
б) Вероятность попадания в каждую мишеней равна . Число способов выбрать четыре мишени из пяти равно 5. Значит, искомая вероятность равна
.
Ответ: а) ; б)
.
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) | |
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям | |
Максимальный балл |
[1] Каждое задание может относиться более чем к одному разделу кодификатора требований.