Дискретная случайная величина
Дискретная случайная величина принимает в результате испытания различные значения, которые можно записать в виде последовательности.
Закон распределения дискретной случайной величины X, принимающей значения 
с вероятностями p1, p2,…, pn, представим в виде таблицы:
| 
| 
| … | 
|
| 
| 
| … | 
|
Причем должно быть выполнено условие p1+p2+…+pn=1, называемое условием нормировки.
Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называют число M(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn, где xi – всевозможные значения случайной величины 
, pi – вероятности, соответствующие значениям xi.
Дисперсией 
дискретной случайной величины X называют число
D(X) = 
–M(X))2 pi,
где xi – всевозможные значения случайной величины X, pi – вероятности, соответствующие значениям xi, M(X) – математическое ожидание случайной величины X. Для дискретной случайной величины справедливо равенство:
D(X) =x12p1+x22p2+…+xn 2pn–( M(X))2.
Пусть проводится n независимых испытаний. Вероятность осуществления события A в одном испытании постоянна и равна p. Дискретная случайная величина X – число испытаний, в которых произошло событие A имеет биномиальное распределение. Это распределение вида
|
| 
| 
| 
| … | 
|
|
| 
|
| 
| … |
|
Вероятности pi вычисляют по формуле pi= 
pi(1–p)n-i (i=0,1,…,n). Математическое ожидание M(X) числа появлений события A в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: M(X)=np. Дисперсия D(X) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события 
в одном испытании: D(X)=np(1–p).
Пример 1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
|
| 0 | 1 | 2 |
|
| 0,3 | 0,5 | ? |
Найдите: 1) вероятность того, что случайная величина X примет значение, равное двум; 2) математическое ожидание и дисперсию X.
Решение. Неизвестную вероятность P(X=2) вычисляют по формуле:
P(X=2)=1–P(X=0) –P(X=1)=1–0,3–0,5=0,2
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины соответственно равны:
M(X)=0∙0,3+1∙0,5+2∙0,2=0,9; D(X)=02∙0,3+12∙0,5+22∙0,2–(0,9)2=0,49.
Ответ: 0,2; 0,9; 0,49.
Пример 2. Независимые дискретные случайные величины X и Y заданы законами распределений:
|
| 
| |||||
| 0,3 | 0,7 |
| 0,6 | 0,4 |
Найдите закон распределения случайной величины Z= X +Y.
Решение. Случайная величина Z=X +Y принимает следующие значения:
z1=x1+y1=1+2=3; z2=x1+y2=1+4=5; z3=x2+y1=3+2=5; z4=x2+y2=3+4=7
с вероятностями:
P(Z=3)=P(X=1)P(Y=2)=0,3∙0,6=0,18;
P(Z=5)=P(X=1)P(Y=4)+ P(X=3)P(Y=2)=0,3∙0,4+0,7∙0,6=0,54;
P(Z=7)=P(X=3)P(Y=4)=0,7∙0,4=0,28.
Закон распределения случайной величины 
имеет вид
| 3 | 5 | 7 |
|
| 0,18 | 0,54 | 0,28 |
Ответ:
|
| 3 | 5 | 7 |
Упражнения.
7.5.1. Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10, 11 студентов. Составьте закон распределения случайной величины , определяемой как число студентов в наугад выбранной группе. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Ответ:
|
| 12 | ||||
|
| 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,2 |
10,1; 1,89.
7.5.2. Имеется двадцать коробок с яблоками, причем количество яблок в них: 10, 9, 11, 10, 12, 8, 11, 9, 10, 10, 11, 8, 9, 10, 9, 11, 12, 10, 9, 11 штук. Составьте закон распределения случайной величины X, определяемой как количество яблок в произвольно выбранной коробке, и найдите математическое ожидание и дисперсию этой величины. Ответ:
|
| 12 | ||||
|
| 0,1 | 0,25 | 0,3 | 0,25 | 0,1 |
10; 1,3.
7.5.3. Бросают две правильные игральные кости. Случайная величина X –максимальное из двух выпавших очков Найдите математическое ожидание и дисперсию X. Ответ: 4,472; 19,39.
7.5.4. Вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,5; второго – 0,4. Найдите математическое ожидание и дисперсию общего числа попаданий в мишень. Ответ: 0,9; 0,49.
7.5.5. Из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад вынимают два шара (без возвращения). Найдите математическое ожидание и дисперсию числа вынутых белых шаров. Ответ: 0,8; 0,36.
7.5.6. Вероятность попадания в мишень при каждом из трех выстрелов равна 1/3. Найдите математическое ожидание и дисперсию общего числа попаданий. Ответ: 1; 2/3.
7.5.7. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа выпадения герба при десяти независимых бросаниях монеты. Ответ: 5; 2,5.
7.5.8. Найдите математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по каждому равна 0,3. Ответ: 6.
7.5.9. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в партии из пяти тысяч изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,02. Ответ: 100; 98.
7.5.10. Имеются 4 лампы, каждая из которых с вероятностью 1/3 имеет дефект. При ввинчивании в патрон дефектные лампы сразу перегорают, и тогда ввинчивается следующая. Случайная величина X – число ввинченных ламп. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Ответ:
|
| 4 | |||
|
| 2/3 | 2/9 | 2/27 | 1/27 |
40/27; 452/729
7.5.11. Найдите закон распределения случайной величины X, которая может принимать только два значения: x1 с вероятностью 0,3 и x2, если известно, что x1<x2, M(X)=5,4, D(X)=0,84. Ответ:
|
| 6 | |
|
| 0,3 | 0,7 |
7.5.12. Даны все возможные значения дискретной случайной величины X: x1=1, x2=2, x3=3, а также известны M(X)=2,3 и M(X2)=5,9. Найдите закон распределения случайной величины X. Ответ:
|
| 3 | ||
|
| 0,2 | 0,3 | 0,5 |
7.5.13. Заданы законы распределения независимых случайных величин X и Y:
|
| 
| |||||||
|
| 0,2 | ? | 0,4 |
| ? | 0,4 | 0,5 |
Найдите P(X=2), P(Y=0), M(X+Y), M(X–Y), D(X+Y), D(X–Y), M(XY).
Ответ: 0,4; 0,1; 5,2; –0,4; 4; 4; 6,72.
7.5.14. Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y:
|
|
| ||||||
|
| 0,1 | 0,5 | ? |
| 0,3 | ? |
Найдите P(X=20) и P(Y=20), закон распределения X+Y, проверьте свойство
M(X+Y)=M(X)+M(Y). Ответ: 0,4; 0,7;
|
| 40 | |||
|
| 0,03 | 0,22 | 0,47 | 0,28 |
7.5.15. Случайная величина X задана законом распределения
|
| -1 | 0 |
|
| 0,4 | 0,6 |
Случайная величина Y представляет собой число появлений события A с постоянной вероятностью p=0,6 в двух независимых испытаниях. Составьте закон распределения разности X–Y и проверьте свойство дисперсии D(X–Y)=D(X)+D(Y). Ответ:
| -3 | -2 | -1 | 0 |
|
| 0,144 | 0,408 | 0,352 | 0,096 |
7.5.16. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределений
|
| -2 |
| |||||
|
| 0,3 | 0,4 | 0,3 |
| 0,5 | 0,5 |
Составьте закон распределения случайной величины Z=2X–Y и проверьте свойство D(2X–Y)=4D(X)+D(Y).
Ответ:
| -6 | -5 | -2 | -1 | 3 | |
|
| 0,15 | 0,15 | 0,2 | 0,2 | 0,15 | 0,15 |
7.5.17. Продаются саженцы трех сортов. Вероятность того, что приживется саженец первого сорта, равна 0,75; второго – 0,7; третьего – 0,6. Садовод купил три саженца различных сортов. Составить закон распределения числа прижившихся у него саженцев.
7.5.18. В бригаде имеется четыре трактора. Вероятность выхода в поле каждого из них каждый день одинакова и равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины – числа тракторов, которые выйдут в поле в произвольно выбранный день.
7.5.19. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,3. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом из четырех посаженных. Найти функцию распределения и построить ее график.
7.5.20. Доярка обслуживает три доильных аппарата. Вероятность того, что в течении дойки первый аппарат не потребует ее внимания, равна 0,1; второй – 0,2; третий – 0,3. Составить закон распределения числа доильных аппаратов, которые потребуют внимания рабочего в течении часа.
7.5.21. Вероятность повреждения упаковки при перевозке изделия равна 0,2. Составить закон распределения числа изделий с поврежденной упаковкой среди взятых наудачу четырех. Найти функцию распределения этой случайной величины и пользуясь ею, найти вероятность того, что изделий с поврежденной упаковкой будет не меньше одного, но меньше трех.