Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению
Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению.
Имеется ряд наблюдений переменных x и y:
| xi | x1 | x2 | … | xn |
| yi | y1 | y2 | … | yn |
По этим данным можно построить ломаную, вид которой указывает вид эмпирической формулы. Если анализ опытных данных привел к выводу, что между переменными x и y существует линейная зависимость, 
, то параметры 
и 
этой прямой определяются из системы уравнений: 
Упражнения.
3.1.1.Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:
| x | 0,6 | 1,0 | 1,4 | 1,8 | 2,2 |
| y | 7,8 | 10,5 | 12,7 | 14,3 | 15,5 |
В результате их выравнивания по параболе получено уравнение y = - 1,5x2 + 9x + 3. Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.
3.1.2. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:
| x | 3,0 | 3,2 | 3,4 | 3,6 | 3,8 |
| y | 1,95 | 1,9 | 1,8 | 1,7 | 1,65 |
В результате их выравнивания по гиперболе получено уравнение
y = (x + 1)/(x – 1). Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.
3.1.3. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:
| x | |||||
| y | 1,6 | 2,0 | 2,3 | 2,4 | 2,7 |
В результате их выравнивания по параболе получено уравнение 
. Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.
3.1.4. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:
| x | |||||
| y |
В результате их выравнивания получено уравнение y = 
. Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.
3.1.5. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:
| x | -2 | ||||
| y | 0,3 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 3,0 |
В результате их выравнивания по экспоненте получено уравнение y = еx/5. Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.
Интегральное исчисление
Неопределенный интеграл
Первообразной функцией для функции f (x) называется такая функция F (x), производная которой равна данной функции, т.е. F' (x) = f (x).
Неопределенным интегралом от непрерывной функции f (x) или от дифференциального выражения f (x) dx называется совокупность первообразных функций f (x).
Обозначение:
, где F' (x) = f (x). Функция f (x) называется подынтегральной функцией, а выражение f (x) dx – подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла:
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.
;d
;
Неопределенный интеграл от дифференциала функции f (x) равен функции f (x) с точностью до постоянного слагаемого
.
Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределенного интеграла
.
Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций
Таблица простейших неопределенных интегралов
. 
. 
.
. 
. 
.
. 
. 
.
. 
.
. 
.
Методы интегрирования.
Интегрирование разложением.
Если 
, то 
.
Пример 1. Найти интеграл 
.
Решение.
= 
.
Метод подстановки.
Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле 
, где 
- дифференцируемая функция переменной t.
Пример 2. Найти интеграл 
.
Решение. Положим 
, тогда 
, откуда 
.
Подставляя полученные равенства в подынтегральное выражение, находим
Метод интегрирования по частям.
Если 
- дифференцируемые функции от х, то из формулы для дифференциала произведения двух функций 
получается формула интегрирования по частям 
.
Пример 3. Найти 
.
Решение. Обозначим: 
, отсюда dx = du, v = - cosx.
Подставляя значения u,v,du,dv в формулу интегрирования по частям, получим 
.
Упражнения.
4.1. Найти неопределенные интегралы:
a) 
; b) 
;
c) 
; d) 
;
e) 
; f) 
;
g) 
; h) 
;
i) 
; j) 
;
k) 
; l) 
.
4.2. Найти неопределенные интегралы методом замены переменной:
a) 
; b) 
; c) 
; d) 
;
e) 
; f) 
; g) 
; h) 
;
i) 
; j) 
; k) 
; l) 
; m) 
4.3. Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
a) 
; b) 
; c) 
; d) 
;
e) 
; f) 
; g) 
; h) 
;
h) 
; I) 
.
4.4. Интегрирование рациональных дробей:
a) 
; b) 
; c) 
;
d) 
; e) 
; f) 
; q) 
.
7.5. Интегрирование иррациональных выражений:
а) 
; b) 
; с) 
; d) 
.