Векторное произведение векторов
Результатом перемножения двух векторов может быть не только скаляр, но и вектор. Понятие векторного произведения, о котором пойдет речь в этом пункте, является объектом изучения теории трехмерного евклидова пространства. В евклидовом пространстве, число измерений которого отлично от трех, не имеется аналогий этого понятия.
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой – вторым и какой – третьим. При записи тройки векторов мы всегда будем располагать эти векторы в порядке их следования (если для нас будет небезразличен порядок набора). Так, запись ,
,
означает, что первым элементом тройки является вектор
, вторым – вектор
и третьим – вектор
.
Упорядоченная тройка некомпланарных[1] векторов ,
,
называется правой, если, находясь внутри трехгранного угла, образованного приведенными к общему началу векторами
,
,
, мы видим кратчайший поворот от
к
и от него к
совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.
Удобное практическое правило определения правой тройки: упорядоченная тройка некомпланарных векторов ,
,
является правой, если после приведения к общему началу векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки.
Определение. Векторным произведением вектора на вектор
называется вектор
, обозначаемый символом
(или
) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:
1) длина вектора равна
, где
– угол между векторами
и
, т.е. площади параллелограмма, построенного на векторах
и
, как на сторонах;
2) вектор ортогонален плоскости векторов
и
(
,
);
3) векторы ,
,
образуют правую тройку векторов.
Требования 1 и 2 определяют вектор с точностью до двух взаимно противоположных направлений; требование 3 отбирает одно из этих двух направлений. В случае, когда
и
коллинеарные, тройка
,
,
изображает приложенную в некоторой точке
силу, а вектор
идет из некоторой точки
в точку
, то вектор
представляет собой момент силы
относительно точки
.
Свойства векторного произведения
1. векторы
и
– коллинеарны. В частности
.
2. (антикоммутативность).
3. , для любого
(однородность).
4. ,
(дистрибутивность).
Если векторы ,
заданы своими координатами в базисе
, т.е.
то
(1.5)
Пример 6.Найти векторное произведение векторов и
Решение. Воспользуемся формулой (1.5)
Пример 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
и
Решение. Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах
и
, как длину их векторного произведения, т.е.
. Сначала найдем
.
Пример 8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и
, если
Решение. Согласно 1-му пункту определения векторного произведения имеем: =
Пример 9.Найтиплощадь треугольника, построенного на векторах если
Решение.
При вычислении воспользовались свойствами векторного произведения 1-4, т.е.
Пример 10.Найти площадь треугольника с вершинами в точках
Решение. составляет половину площади параллелограмма, построенного на векторах
и
, как на сторонах. Найдем координаты векторов
Вычислим
:
Пример 11.Найти , если
,
Решение. Найдем координаты векторов и
Вычислим
Найдем длину векторного произведения: